Cel mai bun răspuns
Operatorul Del este o modalitate de a găsi derivata unui vector. Poate că sunteți familiarizat cu găsirea derivatului pentru funcțiile scalare, care poate fi reprezentat de ceva de formă
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f „(x)
unde f (x) este o funcție a lui x, f „(x) este derivatul său, iar \ frac {d} {dx} este termenul care ne spune să luăm derivata în primul rând. Vă puteți gândi la \ frac {d} {dx} ca la „operatorul derivat”, deoarece vă spune să luați o derivată a lucrului alăturat.
Acum, vrem să facem și acest lucru pentru vectori, cel mai adesea fiind cei reprezentați în coordonate carteziene (funcțiile lui x, y și z). De ce? Deoarece multe fenomene fizice (cum ar fi câmpurile electrice sau gravitaționale) pot fi descrise ca vectori, iar schimbările acestor fenomene (și, prin urmare, derivatele) sunt importante.
Deci, cum luăm derivata unui vector ? Folosim operatorul Del. Deoarece vrem să-l folosim cu vectori, va trebui să fie un vector în sine. Și deoarece vrem să-l folosim pentru toate cele trei coordonate carteziene și nu doar pentru x, va avea mai multe litere. În cele din urmă, operatorul Del arată foarte similar cu „operatorul derivat” de mai sus, dar cu încă câțiva termeni:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nabla este ceea ce numim Del Operator, deși simbolul este oficial o „nabla”; Sincer am fost învățat doar că se numea delta cu capul în jos! Pe lângă doar o derivată cu privire la x, luăm acum și derivate parțiale cu privire la y și z. Când luăm o derivată parțială, tratăm toate variabilele, cu excepția uneia, ca constante și luăm derivata în raport cu variabila aleasă.
Acum, deoarece există două moduri de a multiplica vectori, obținem în mod natural două moduri de a lua o derivată vectorială. Cele două modalități de multiplicare a vectorilor sunt folosirea produsului „ dot ” și a produsului încrucișat „ ; rezultatul fiecărei înmulțiri este o valoare scalară și, respectiv, o valoare vectorială.
Un exemplu care utilizează produsul punct este calcularea divergenței câmpului electric:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Aici, luăm o derivată folosind produsul punct și rămânem cu valoarea scalară {\ rho} \_v, care este densitatea de încărcare a volumului în o regiune.
Un exemplu de utilizare a produsului încrucișat constă în calcularea buclei câmpului electric:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Aici, luăm o derivată folosind produsul încrucișat și rămânem cu valoarea vectorială \ mathbf {B} (mai precis, derivata sa în timp).
Operatorul Del este, de asemenea, util în afara vectorilor, totuși. Dacă tratăm Operatorul Del ca doar o sumă de trei lucruri diferite, îl putem înmulți cu o anumită funcție scalară și această funcție se distribuie în întregul lucru:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
În acest caz, am transformat un scalar într-un vector! Acest lucru este cunoscut ca luând „gradientul” funcției scalare. Ceea ce face este să vă spună în ce direcție funcția se schimbă cel mai rapid. Aceasta este adesea utilizată pentru câmpurile potențiale, care iau forma:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
unde \ mathbf {U} este o energie potențială (cum ar fi un arc sau o gravitație) și F este forța care rezultă din plasarea în acel câmp. Este încă o derivată vectorială, ceea ce am descris Operatorul Del ca mai devreme, doar că este derivata vectorială a unui scalar în loc de derivata vectorială a unui vector. Da, există și acestea!
Și continuă. Este posibil să fi văzut termenul {\ nabla} ^ 2; acest lucru este cunoscut sub numele de Laplacian și este văzut în lucruri precum ecuația undei. În esență, este doar să folosiți Del Operator de două ori la rând. Poate fi extins în alte sisteme de coordonate cu mai multe variabile sau redus la două sau una dimensiuni. Este un concept foarte important și se folosește în aproape orice ramură a fizicii!
Răspuns
Operatorul del (denumit uneori și nabla) este definit după cum urmează în coordonate carteziene :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
În ceea ce privește semnificația fizică?
Operatorul del acționează ca echivalentul vector-calcul al unei derivate spațiale. Există trei tipuri de derivate asociate cu operatorul del. Să presupunem că A este un vector, iar \ phi este un scalar.
Gradul Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
Divergență: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
Buclă : buclă (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Fiecare dintre aceste tipuri de derivate are proprietăți interesante pe care le puteți personaliza Google.
Sper că acest lucru vă va ajuta!
Notă: Toate aceste ecuații sunt diferite în alte sisteme de coordonate (de exemplu, sferice, cilindrice) . Fii atent!