Cel mai bun răspuns
2x + y = 5, x – y = 1 are o soluție unică de x = 2, y = 1. Liniile 2x + y = 5, x – y = 1 se încrucișează într-un singur punct și adică (1,2).
Dacă există două linii paralele, cum ar fi x – y = 1 și x – y = 7 atunci nu există nicio soluție la ecuațiile x – y = 1, x – y = 7.
Dacă 2 ecuații sunt de fapt aceleași, cum ar fi x – y = 1,5 x – 5y = 5 atunci orice punct care se află pe acea linie este o soluție x = 3, y = 2 sau x = 1.000 y = 999 și nu există o soluție unică.
devine puțin mai interesant într-o situație în care există 3 variabile, să zicem x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 are un caracter unic soluția lui x = 1, y = 1, z = 1. Planurile 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 se încrucișează într-un singur punct și adică (1,1, 1).
Dacă există trei planuri paralele precum x + y + z = 1, x + y + z = 4 și x + y + z = 8 atunci nu există nicio soluție la ecuațiile x + y + z = 1, x + y + z = 4 și x + y + z = 8.
Dacă o ecuație este o combinație liniară de alte două, atunci nu există o soluție unică. Iată un exemplu 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Nu numai (1,1,1) este o soluție, ci și (2,2, -2) și (3, 3, -7). De fapt, există o infinitate de soluții.
Motivul este că o ecuație este o combinație liniară a celorlalte
3x + z = 4 este 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Există o mulțime de referințe la acest lucru, dar sperăm că acest lucru vă va oferi o idee despre ce sunt soluțiile unice în sistemele liniare.
Răspuns
Răspunsul meu va presupune mai întâi că acesta este un sistem de ecuații liniare în comparație cu un sistem cu inegalități liniare.
Răspuns scurt – Opțiuni care se exclud reciproc: Nicio soluție, o soluție unică sau un număr infinit de soluții.
Răspuns lung – Care sunt tipurile de soluții depinde într-o anumită măsură de câte ecuații și câte variabile din sistemul liniar și cum doriți să descrieți sistemul.
Algebraically:
- Un sistem fără soluții se numește sistem inconsistent . Înseamnă că nu există un set de valori pentru variabilele care rezolvă simultan toate ecuațiile din sistem. Următorul sistem este inconsistent:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Un sistem cu exact o soluție se numește un sistem consistent, independent. Coerent, deoarece există o soluție și independent, deoarece fiecare ecuație este independentă de celelalte ecuații. Aceasta înseamnă că fiecare valoare pentru variabilele din soluție este independentă de valorile celorlalte variabile. Există exact un set de valori – o valoare per variabilă – care rezolvă simultan toate ecuațiile din sistem. Următorul este un sistem independent, consistent (preluat de la mathisfun.com) cu soluția x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Un sistem cu infinit de multe soluții se numește un sistem consistent, dependent. Este dependentă deoarece cel puțin o ecuație din sistem este un multiplu al altei ecuații sau o combinație de alte ecuații. Asta înseamnă că, în timp ce celelalte variabile din sistem au o singură valoare care rezolvă simultan toate sistemele, una sau mai multe variabile pot rezolva sistemul cu orice valoare. Următorul este un sistem consistent, dependent, cu soluție y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Grafic (sistem cu 3 variabile ca exemplu):
- Un sistem cu două variabile poate fi reprezentat prin grup de linii pe un grafic bidimensional (de obicei xy), în timp ce un sistem cu trei variabile este o colecție de linii sau plane pe un grafic tridimensional (de obicei xyz).Deci, un sistem cu n multe variabile este reprezentat pe un n- grafic dimensional.
- Într-un sistem consistent, independent , toate planurile se întâlnesc la un moment dat (adică 2 pereți și un etaj întâlnit la un colț). În sistemul independent independent, utilizat mai sus în răspunsul algebric, cele trei planuri se intersectează la punctul (5,3,2).
- Într-un consistent , sistem dependent , toate planurile se întâlnesc nu numai la un punct, ci la o linie (adică trei pagini ale unei cărți întâlnite la coloana vertebrală). În sistemul utilizat mai sus în răspunsul algebric, toate cele trei plane se intersectează la linia -5 y + 20 z = 27 (Observați că x poate fi orice valoare din soluție).
- Într-un sistem inconsistent , cel puțin două planuri sunt paralele și, prin urmare, nu se întâlnesc niciodată. Al treilea plan poate fi paralel cu ambele planuri (adică liniile de drum de pe o stradă) sau le poate intersecta pe amândouă, dar niciodată în același loc. (adică pereți opuși într-o cameră și tavan).