Cel mai bun răspuns
Un spinor este doar un vector care se comportă diferit sub rotații și anumite alte transformări .
În loc să vorbești în generalități, cred că devine mult mai ușor să te gândești la spinori când ai un exemplu matematic concret cu care să lucrezi. Acest răspuns va face exact asta. Nu se presupune cunoștințe matematice dincolo de algebra liniară introductivă.
O introducere mai tehnică poate fi găsită din Excelenta lucrare introductivă a lui Steane pe acest subiect, cu un tratament mai complet oferit aici: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Toate ilustrațiile de mai jos sunt ale sale. Dacă greșesc ceva, vă rugăm să nu ezitați să comentați.
Ce sunt Spinors
Am spus mai sus că spinorii erau doar vectori. Ce înseamnă asta? Înseamnă că au toate proprietățile vectorilor:
- pot fi adăugați împreună,
- înmulțit cu o constantă (numită și scalar ),
- există un spinor „zero”,
- și fiecare spinor are un inversor spinor.
Puteți merge înainte și adăugați cerințe mai complexe:
- Doi spinori pot avea un produs interior bine definit, la fel ca spațiile vectoriale.
- Un spinor poate avea o lungime semnificativă, la fel ca alte spații vectoriale.
și așa mai departe.
Despre numai cerință pentru un spinor care o face distinct de un vector este că încercarea de rotire nu vă va oferi rezultatul scontat – încercarea de rotire cu 360 de grade nu vă oferă același spinor, ci rotirea cu 180 de grade va. Mai general, rotația cu un unghi \ theta necesită utilizarea matricei de rotație pentru un unghi \ theta / 2!
Având în vedere acest lucru, aici „un spinor simplu care poate fi imaginat în spațiul euclidian tridimensional obișnuit și care își asumă toate proprietățile pe care le-am enumerat mai sus. Acesta este cel mai simplu spinor și cel care va fi cel mai familiar fizicienilor.
Aici „este o descriere matematică perfect validă a spinorului de mai sus:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Salută primul tău spinor!
Gândindu-ne la Spinors: un avertisment
Înainte de a continua, observ ceva: spațiul euclidian, așa cum am menționat, este tridimensional – totuși am nevoie doar de două componente pentru a-mi reprezenta spinorul! Cum poate fi aceasta? Nu toți vectorii trebuie să aibă același număr de componente ca dimensiunea spațiului pe care îl ocupă?
Contradicția poate fi rezolvată într-o singură propoziție: spinorii nu trăiesc în spațiul euclidian – pot corespunde obiectelor din spațiul euclidian, iar lucrurile făcute lor pot fi făcute să corespundă cu lucrurile făcute în spațiul euclidian, dar asta nu este casa lor.
Adevărul este că spinorul nu are două componente așa cum am spus mai sus (în acest moment probabil că vă strângeți ochii pe ecran și jurați sub respirație ). Un spinor nu are aceeași orientare ca un vector în spațiul vectorial pe care l-am introdus – puteți modela obiecte într-un spațiu vector obișnuit cu el, așa cum am aici, dar un adevărat spinor este definit de mai mulți parametri decât cel al unui vector obișnuit într-un astfel de spațiu.
Puneți pur și simplu , unde orientarea unui vector obișnuit ar fi definită doar de r, \ theta, \ phi, orientarea unui spinor este definită de r, \ theta, \ phi, \ alpha și semnul său (presupus pozitiv în exemplul de mai sus) – corect vorbind, un spațiu vectorial tridimensional poate fi reprezentat printr-un patru- dimensional spinor (semnul, deoarece poate lua doar două valori, poate fi considerat și ca o dimensiune, dar ar fi destul de inutil).
Puteți scrie acest spinor fie ca un vector cu patru componente , câte unul pentru fiecare parametru, înmulțit cu un semn – sau puteți utiliza un truc, ca Am făcut și pretind că spinorul are componente complexe, ceea ce ne permite să scriem cu exactitate același spinor cu reprezentarea de mai sus cu două coordonate.Acesta este motivul pentru care spinorul meu pare să aibă două componente, atunci când are într-adevăr patru parametri și dimensiunea asociată care merge cu el, într-un spațiu vectorial tridimensional: deoarece spinorii noștri există în propriul spațiu complex, nu în spațiul vectorial tridimensional.
Deci, înainte de a trece mai departe, amintiți-vă : spinorii trebuie să aibă doar aceeași dimensiune spațială (adică parametrii necesari pentru a-și specifica orientarea în spațiu), dar aceștia nu trebuie să fie singurii parametri care o definesc. În acest caz, tratez componentele spinorului meu ca având valoare complexă, motiv pentru care îl pot scrie atât de concis într-un vector de coloană cu două componente – dar spinorii pot și au mai mulți parametri, motiv pentru care sunt destul de complicate a lucra cu.
În viața reală, aș recomanda cu tărie să ne amintim că spinorii nu „într-adevăr” t trăiesc alături de noi – sunt, la fel ca toate celelalte lucruri din fizică, abstracții matematice care fac viața mai ușoară de lucrat. Tot ceea ce noi într-adevăr se întâmplă cu obiectele tridimensionale – dar putem folosi spinori pentru a le modela și a face matematica mai frumoasă, motiv pentru care o facem.
conduceți acest punct acasă, luați în considerare următoarea diagramă:
Rețineți cum prezența unghiului de semnalizare complică problemele la fel de simple ca rotația și ceea ce constituie ortogonalitatea. Este un parametru suplimentar și asta face diferența.
Datorită problemelor prezentate de această ciudată dimensionalitate a spinorului, nu puteți folosi doar matricea de rotație obișnuită pentru două dimensiuni suntem cei mai familiarizați, și anume omniprezenta \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} pentru orice unghi. Acest lucru ar fi corect pentru un vector bidimensional, dar chiar și cei mai simpli spinori nu sunt nu , întrucât m-am străduit să subliniez, bidimensional. Nici măcar nu puteți folosi matricile tridimensionale obișnuite – cu siguranță puteți traduce efectul rotației în acești tipi, dar nu este corect să direct înmulțiți un spinor cu ei, deoarece nu aparțin aceluiași spațiu.
Cum să rotiți spinorii
O rotație în jurul fiecărei axe, atunci, este dată de propria sa matrice de rotație specială, definită în un spațiu complet diferit în care trăiesc efectiv spinorii (mai degrabă decât spațiul euclidian). Să notăm matricile de rotație cu unghiul \ theta în direcțiile x, y, z ca R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Apoi ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Iată partea distractivă: observați cum toate aceste matrice de rotație folosesc unghiul \ frac {\ theta} {2} pentru a se roti cu unghiul \ theta?
Este adevărat! Acest fenomen de dublare a unghiurilor este semnul distinctiv al spinorilor: puteți chiar demonstra că înmulțirea unui spinor cu aceste matrici semi-unghiulare este echivalentă cu rotirea a părții spațiale cu unghi complet.
Și „literalmente este : tot ceea ce ai nevoie să știu despre spinori – că sunt vectori care trăiesc în propriul lor spațiu special și au propriile lor matrice speciale de rotație – acoperite într-un singur răspuns Quora. „Mi-am limitat atenția la cei mai simpli spinori de acolo, desigur, dar esențialul toate caracteristicile sunt prezentate. Dacă doriți să căutați mai multe, vă rugăm să consultați Steane (legat mai sus).
De ce ne pasă de spinori
Spinorii contează deoarece se pare că sunt capabili să descrie întregul spectru al comportament așteptat de la particulele subatomice. În special, particulele vin la pachet cu impulsul unghiular intrinsec, o proprietate pe care o numim spin (a se vedea răspunsul lui Brian Bi la „Spinul particulelor subatomice implică de fapt un moment unghiular) (adică, particula este de fapt * învârtită *)? pentru o descriere completă).Modelând particulele ca spinori mai degrabă decât vectori obișnuiți, suntem capabili să descriem cu succes interacțiunea pe care o așteptăm de la acest spin, precum și să oferim o descriere completă a comportamentului particulelor – într-adevăr, spinorii formează baza ecuației Dirac, care înlocuiește ecuația Schrodinger pentru a oferi o ecuație de undă compatibilă cu relativitatea specială și la rândul său formează baza teoriei câmpului cuantic (extensia mecanicii cuantice pentru a descrie forțele).
Răspuns
Spinorii sunt obiecte geometrice care există în trăirea în spații vectoriale reale (spre deosebire de spațiile vectoriale complexe sau cuaternionice).
Deci, pentru a face un pas înapoi, un vector este un obiect care există în spațiu și se spune că indică într-o direcție dată. Ceea ce înseamnă asta este că, dacă vă rotiți axele, vectorul componentelor se schimbă în același mod.
Vectorii au proprietatea că, dacă îi rotiți cu 360 „, primiți înapoi același obiect.
Există o serie de obiecte geometrice care pot fi construite din vectori. De exemplu, puteți lua doi vectori și le puteți multiplica împreună pentru a obține tensori. În special, momentul tensorului de inerție este unul dintre ei. Tensorii au proprietatea că, dacă îi rotiți cu 360 „/ N, primiți înapoi același obiect și dacă rotiți-le 360 ”reveniți întotdeauna la același obiect.
În spațiile care au un grup de simetrie care este ortogonal (cele care apar în mod natural în spații vectoriale reale), există alte tipuri de obiecte geometrice care sunt nu este alcătuit din vectori. O modalitate de a vedea acest lucru este că, dacă le rotiți cu 360, „nu vă mai reveniți la același obiect, în schimb, veți ajunge cu -1 ori obiectul original – este indicat în „direcție opusă.
Acestea sunt obiecte ciudate; cu toate acestea, aceste obiecte sunt cele care descriu în mod natural obiecte de rotire 1/2 în fizică.
Aceste obiecte există datorită proprietății ciudate că grupul de simetrie ortogonală este dublu conectat. Există o structură matematică bogată aici, dar aceste obiecte sunt din punct de vedere moral rădăcina pătrată a unui vector – adică dacă multipli doi spinori împreună obțineți un vector, ca atunci când înmulțiți doi vectori împreună obțineți un tensor de gradul doi ca momentul de tensor de inerție.