Cel mai bun răspuns
Expresia din postat întrebarea nu este chiar corectă.
Teorema binomială
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
se menține pentru toate numerele complexe x și y și numere întregi nenegative n .
Fie x = 1 și y = -1. Apoi, în partea dreaptă, veți avea diferențele și sumele de combinații dorite (ceea ce ați numit alegeți ). În partea stângă aveți 0 ^ n, pe care aparent presupuneți că este 0. Cu toate acestea, teorema binomială, așa cum s-a menționat mai sus, se aplică tuturor numere întregi nenegative n , care include 0, caz în care partea stângă este 0 ^ 0 = 1 – caz pe care nu l-ați permis.
În cazul în care nu mă credeți, încercați acest exercițiu banal: Scrieți primele rânduri ale triunghiului lui Pascal. Formula „alegeți” din întrebarea postată este echivalentă cu alegerea oricărui rând și, începând de la elementul din stânga (care este întotdeauna 1, indiferent de rândul pe care îl alegeți), apoi scădeți următorul element din dreapta și continuați alternând adăugarea și scăderea toate elementele acelui rând. Observați că, cu rândul care conține 1 1 și rândul care conține 1 2 1 și rândul care conține 1 3 3 1 toate dau 0 cu acest proces. Ce se întâmplă, totuși, pe rândul de sus care conține doar 1? Începem cu acel 1 și ne pregătim să scădem elementul următor, dar nu există elementul următor, așa că am terminat deja cu un rezultat de 1, nu 0. Nu este nevoie să excludem rândul de sus din conceptul că diferențele alternative și sumele produc 0 ^ n pentru toate rândurile.
Dacă sunteți unul dintre cei care au o legătură cu 0 ^ 0 = 1, trebuie într-adevăr să treceți peste acel blocaj, cel puțin în context a exponenților întregi. Dacă considerați 0 ^ 0 ca nedefinit, la fel de bine aruncați teorema binomului și dovada de mai sus, deoarece nu ați putea folosi teorema binomului pentru a evalua (0 + y) ^ {n} și (x + 0) ^ { n}, indiferent de valoarea n , deoarece ultimul termen din expansiunea binomială pentru prima putere și primul termen din expansiunea binomială pentru cea din urmă putere ambele implică 0 ^ 0, deci ar trebui să numiți suma respectivă nedefinită și să adăugați excluderea total inutilă și prostească pe care teorema binomială nu se aplică pentru x = 0 și pentru y = 0. De asemenea, ați încălca regula produsului gol, care indică faptul că produsul fără factori trebuie să fie elementul de identitate multiplicativ , 1. Relația 0! = 1 este important și pentru teorema binomului, precum și pentru multe alte locuri – dar cu 0! unul nu înmulțește împreună niciun factor începând de la 1, deci este un produs gol și, în cele din urmă, regula produsului gol ne spune că 0! = 1. Aceeași regulă pentru produsul gol ne spune că x ^ 0 = 1 pentru toate numerele complexe x , iar valoarea x nu este preocupată de regula produsului gol, deci da, x = 0 se aplică la fel de bine ca orice altă valoare a x – nu există cazuri de excepție justificate în vreun fel.
Există numeroase alte motive pentru care se consideră 0 ^ 0 = 1 cel puțin în contextul exponenților întregi: definiția formulică a polinoamelor și a seriilor de putere utilizând notația ∑ și manipularea unor astfel de polinoame și serii de puteri, diverse probleme de combinatorie și altele. Nu există nicio rațiune solidă pentru faptul că 0 ^ 0 are o altă valoare decât 1 sau pentru a o considera nedefinită, cel puțin în contextul exponenților întregi.
Unii dintre voi s-ar putea să fie un pic deranjați de scriind așa pentru că încalcă tot ceea ce ai fost învățat – poate atât de multă suferință încât îți este greu să te gândești chiar la posibila validitate a ceea ce am scris și ești pe punctul de a scrie un comentariu de răspuns pentru a-mi spune unde greșesc. Pentru a vă împiedica să arătați prostește cu comentarii eronate, voi continua și voi aborda ceea ce aștept să vină:
- „Manualul meu și profesorul meu au spus că 0 ^ 0 este nedefinit și ar putea nu vă înșelați. ” Urăsc să vă spun și să vă sparg balonul cu privire la profesorii și manualele dvs., dar există multe subiecte în manualele de matematică din școala secundară (și alte materii) care sunt simplificate prea mult până la a fi incorecte. Comentariile mele aici nu sunt intenționate ca o reducere a profesorilor de matematică din școala secundară – au o sarcină dificilă și cei mai mulți chiar vor să facă o treabă excelentă și să ajute elevii să progreseze.Majoritatea profesorilor de matematică din învățământul secundar nu s-au specializat în matematică în studiile lor universitare – majoritatea s-au specializat în educație cu o specializare în matematică. Ei învață despre modul în care gândesc diferiți elevi, cum să explice diferite puncte într-o varietate de moduri, cum să găsească și să diagnosticheze problemele pe care elevii le au cu materialul și alte lucruri foarte valoroase care nu au legătură directă cu matematica. Ei petrec timp în săli de joc simulate, precum și în săli de clasă reale, sub ochiul îndrumător al profesorului propriu-zis, pentru a obține practică. Ei primesc o mulțime de analize aprofundate ale matematicii pe care le-ar anticipa predarea, ceea ce înseamnă la nivelul școlii secundare. Vor urma câteva cursuri de matematică la nivel universitar în programul lor, dar nici pe departe la fel de multe sau la fel de avansate ca ceea ce ar urma un curs de matematică. Specialiștii în matematică nu fac nimic din toate acestea, dar în cursurile lor mai avansate se expun mai mult la ceea ce fac matematicienii reali, vii și profesioniști, iar majoritatea profesorilor de matematică nu primesc această expunere – nu realizează modul în care matematicienii definesc de fapt lucruri precum numerele naturale și numere întregi, expunere limitată la matematicieni care folosesc radiani în loc de grade pentru măsuri unghiulare (iar lipsa simbolului unității pentru unghiuri implică radiani, nu grade), neavând-o îmbibată în ceea ce matematicienii profesioniști consideră ca fiind ordinea adecvată a operațiilor (și, nu , nu este PEMDAS, BODMAS, …) etc. Profesorii dvs. de matematică vă învață ce spune cartea să predați și nu sunt conștienți că vă învață lucruri care sunt contrare a ceea ce fac matematicienii profesioniști.
- Legile diviziunii exponenților: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, care este nedefinit, deci 0 ^ 0 trebuie nedefinit deoarece sunt egali. Un pas nevalid a fost făcut la al doilea =. Una dintre legile de divizare a exponenților este b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, dar are unele restricții pentru a putea fi utilizate. Una dintre acestea este că aplicarea legii nu trebuie să genereze în niciun moment o expresie care implică un reciproc de 0 sau o divizare la 0. Prin urmare, utilizarea acestei legi este interzisă atunci când b = 0, deoarece generează o prostie – și aceasta este o prostie pe care vrei să o folosești pentru a „demonstra” punctul tău. Ne pare rău, dar pentru a dovedi un punct, nu puteți folosi ceva care este atât de prost, încât este invalid. Pașii nevalizi constituie o dovadă eșuată. De asemenea, scrierea unor lucruri precum a = b = c unde c este nedefinit este invalid – a și b ar putea sau nu să fie valid. Ecuațiile nu trebuie folosite atunci când cel puțin una dintre părți este nedefinită sau altfel invalidă. Ți se interzice să concluzionezi chiar că 1/0 = 1/0, deoarece ambele părți sunt nedefinite, deci nu poți spune că sunt egale – cum ai putea ști că două lucruri sunt egale atunci când nici măcar nu ai idee ce sunt aceste două lucruri mean (și nu aveți nicio idee pentru că nu au definiție).
- „0 ^ 0 este o formă nedeterminată, deci nu poate avea o valoare – manualul meu de calcul spune așa”. Conceptul de forme nedeterminate este foarte real și util atâta timp cât îl păstrați în contextul dorit. Formele nedeterminate se aplică numai în contextul limitelor – că nu puteți privi acea formă și a determina dacă există o limită și, dacă există, care este valoarea limitativă. Scrierea 0 ^ 0 se referă la valoarea lui f (x, y) = x ^ y la (x, y) = (0, 0) – nu care este limita ca x și y abordează 0 independent. S-ar putea să existe o limită, dar funcția nu este definită acolo; o funcție ar putea fi definită acolo, dar limita nu există. Cele două concepte nu au nicio legătură una cu cealaltă, în afară de momentul în care unul sau ambele (valoarea definitorie și valoarea limită) eșuează, funcția nu este continuă în acel moment. A spune că o limită ia o formă 0 ^ 0 înseamnă că nu puteți spune doar din acele informații dacă există limita și care este valoarea acesteia. Acest fapt nu are nicio legătură cu dacă 0 ^ 0 = 1 sau dacă este nedefinit. A spune 0 ^ 0 = 1 nu înseamnă că o limită care ia forma 0 ^ 0 trebuie să aibă valoarea 1.
- 0 ^ y = 0 pentru toate pozitivele y și x ^ 0 = 1 pentru toate x diferite de zero. (Mulți oameni care folosesc acest argument uită că y nu trebuie să fie negativ și tratează cele două cazuri ca simetrice.) Dacă înlocuiți 0 cu ambele x și y , într-un caz 0 ^ 0 = 0 și în celălalt caz 0 ^ 0 = 1 – o contradicție , deci nu poate fi definit. Ei bine, să vedem. Există două numere al căror pătrat este 9: +3 și −3; astfel, rădăcina pătrată a lui 9 este +3, dar rădăcina pătrată a lui 9 este −3. O, avem o contradicție, deci nu trebuie să existe rădăcina pătrată a lui 9 – trebuie să fie nedefinită.Nu, +3 este un răspuns mai util decât −3, deci definim √9 = 3. Faptul că x ^ 0 = 1 nu numai pentru toate diviziunile reale x dar și pentru toate complexele non-zero x și chiar pentru toate cuaternioanele non-zero x ; pe de altă parte, 0 ^ y funcționează într-un mod simplu numai pentru pozitivul real x – nu realele negative, nu imaginare, deci nu are mai mult sens mergi cu definiția care are o singură gaură în loc să consideri serios o opțiune care are un număr nenumărat de găuri ? Rezultatul lui 1 este mult, mult, mult mai util decât 0 pentru 0 ^ 0. Dacă suntem dispuși să numim rădăcina pătrată a lui 9 să fie +3 atunci când există mult mai puține motive pentru preferință, cu atât mai mult să numim 0 ^ 0 = 1, când există un motiv foarte puternic pentru preferință. Regula produsului gol impune alegerea 1 și nu 0. Multe aplicații practice consideră că 1 este un rezultat extrem de util, în timp ce 0 sau nedefinit ar fi rezultate problematice. Nicio aplicație semnificativă nu are 0 fiind un rezultat util, așa că alegem 1.
Răspuns
\ text {Conform teoremei binomului}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Înlocuirea a = 1 și x cu – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implică 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}