Cel mai bun răspuns
Da, este problema Monty Hall deghizată. „Comutarea” în această problemă este doar o modalitate de a sublinia că o probabilitate este diferită de cealaltă. În această problemă, ați prefera ușa pe care gazda ar fi putut-o deschide, dar nu a făcut-o. Aici, ai prefera să fii prizonierul pe care ar fi putut să-l numească directorul, dar nu. Același lucru.
A este greșit. El crede că a învățat doar informații despre B și nimic despre A sau C. Dar a învățat ceva despre C: directorul ar fi putut să-l numească, dar nu nu este. Din cauza monedei, 50\% din timpul în care A ar fi fost grațiat, directorul ar fi numit C. Dar el ar numi B 100\% din timp în care C ar fi fost grațiat. Acest raport – de la 50\% la 100\% – este ceea ce face acum de două ori mai probabil ca C să fie grațiat.
În afară de istoric: problema pe care ați menționat-o a fost publicat inițial în numărul din octombrie (cred) din 1959 al revistei Scientific American de Martin Gardner. În același număr, el și-a cerut scuze pentru că a primit un răspuns greșit la această întrebare:
- Mr. Smith are doi copii. Cel puțin unul dintre ei este băiat. Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți?
El a spus inițial că răspunsul este 1/3. Dar întrebarea prezentată este ambiguă; depinde de modul în care ați aflat că cel puțin un copil a fost băiat.
Dacă a fost pentru că ați întrebat „Este cel puțin un a băiat? ”, atunci 1/3 este corect. Dar dacă ați învățat doar un fapt întâmplător, adică ați fi putut învăța și „cel puțin una este o fată”, atunci răspunsul este 1/2.
Și, de fapt, Problema celor doi copii este doar o variantă a Problemei celor trei prizonieri cu patru prizonieri în loc de trei, sau a problemei Monty Hall cu patru uși. Gardner i-a pozat pe cei trei prizonieri pentru a clarifica modul în care funcționează aceste probleme și a inclus partea despre monedă în mod specific pentru a arăta cum este procesul prin care ați obținut informațiile, nu numai informațiile, care determină răspunsul.
Răspuns
Problema celor trei prizonieri poate fi înțeleasă mai ușor dacă rămânem la probabilități condiționate, mai degrabă decât la probabilități posterioare.
Deci, trei prizonieri A, B, C sunt pe coridorul morții și unul dintre ei a fost grațiat în baza unui joc de șanse. Prizonierul A cere directorului să dezvăluie cel puțin numele unuia dintre ceilalți prizonieri, care nu a fost grațiat.
Prin această întrebare, A a creat două grupuri.
- Grupul I – implicând singur A.
- Grupul II – implicând B și C.
Corespunzător acestor două grupuri există două evenimente:
- Cineva din grupul I este iertat. (A singur).
- Cineva din grupul II este iertat (B sau C).
Deoarece ambele aceste evenimente sunt echipabile, probabilitățile ambelor evenimente sunt \ frac {1} {2}. În cadrul celui de-al doilea grup, probabilitățile alegerii lui B sau C sunt din nou \ frac {1} {2}.
Administratorul îl numește acum pe B drept prizonierul care nu a fost grațiat.
Întrucât directorul nu a spus nimic despre prizonierul C, acest lucru înseamnă că probabilitatea celui de-al doilea eveniment (cineva este iertat din grupul care implică B și C) este în continuare aceeași – \ frac {1} {2}.
Dar, din moment ce B a fost eliminat, aceasta înseamnă că probabilitatea ca C să fie grațiat din grupa II, a crescut acum de la \ frac {1} {2} la 1 !!! Aceasta este șansa sa de a obține grațierea sa dublat !!!
Pe de altă parte, prin același raționament, deoarece directorul nu a spus nimic despre prizonierul A, probabilitatea primului eveniment (cineva fiind iertat de la primul grup) este încă același – \ frac {1} {2}.
Deci întrebarea prizonierului A nu oferă lui A nicio informație nouă despre soarta sa. Pe de altă parte, prizonierul C (căruia A i-a dat aceste informații), acum știe că șansele sale de a obține grațierea s-au dublat.
Acesta este tot ce trebuie să știți pentru a înțelege esența celor trei prizonieri. Problemă. Cu toate acestea, dacă doriți să vă verificați intuiția folosind formula lui Bayes. Puteți face acest lucru așa cum se arată mai jos:
Problema formulării Bayes a celor trei prizonieri
Fie A, B și C evenimentele corespunzătoare eliberării prizonierilor A, B și C respectiv.Și fii b evenimentul în care directorul îi spune lui A că prizonierul B trebuie executat, apoi, folosind teorema lui Bayes, probabilitatea posterioară a iertării lui A este:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Probabilitatea C a fi grațiat, pe de altă parte, este:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Astfel probabilitatea posterioară de a fi grațiată A rămâne aceeași cu probabilitatea apriori (\ frac {1} {3}), în timp ce cea a lui C fiind iertată este dublată.
Puteți vedea efectul probabilităților condiționale asupra probabilităților posterioare în termenul P (b | A) (\ frac {1} {2}) și P (C | b) (1).