Cel mai bun răspuns
Iată cum aș aborda soluția aproximativă:
Valoarea lui x trebuie să fie în intervalul [-1,1] ca în afara acelui interval x ^ 2> 1 care este în afara intervalului \ sin {x}. Poate fi limitat mai mult la intervalul [0,1] ca atunci când -1 \ le x , \ sin {x} 0. În intervalul [0,1] există o soluție banală pentru x = 0.
Pentru x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } întrucât x ^ 2 \ sin {x}, trebuie să existe cel puțin o soluție în intervalul (0,1]. Mai mult, pe acest interval \ sin {x} are o a doua derivată negativă, întrucât x ^ 2 are o a doua derivată pozitivă, deci există cel mult o soluție în intervalul (0,1]. Odată ce curba lui x ^ 2 o depășește pe cea a lui \ sin {x}, nu se poate întoarce din nou.
Deci, există exact o soluție în (0,1]. Pentru a estima această soluție, utilizați primii doi termeni din seria Taylor pentru funcția sinus pentru a obține x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Aceasta se reduce la x ^ 2 + 6x-6 = 0 sau x = \ sqrt {15} -3 ca soluție aproximativă. La șase zecimale, \ sqrt {15} -3 \ aproximativ 0,872983.
Prin comparație, o aproximare numerică oferă soluția la șase zecimale ca x = 0,876726. Deci aproximarea noastră folosind doar doi termeni din seria Taylor a fost destul de apropiată, dar nu perfectă.
Răspuns
Pentru o întrebare ca aceasta, este de obicei o idee bună să graficăm funcțiile pentru a ne face o idee despre cum se comportă. vrei răspunsuri la număr real.
Putem adăuga 2x la ambele părți și apoi împărțim la 2 pentru a obține x = 1.3 \ sin (x). Funcția sinusoidală este mărginită între -1 și 1, deci trebuie să ne preocupăm doar de valorile x între -1,3 și 1,3. Graficul y = x este doar o linie dreaptă. Graficul y = 1,3 \ sin (x) este înclinat în sus între -1,3 și 1,3, deoarece 1,3 este mai mic decât un unghi drept, iar sinusul crește de la – \ pi / 2 la \ pi / 2.
Dacă cunoașteți un anumit calcul, știți că rata la care crește 1,3 \ sin (x) este dată de 1,3 \ cos (x). Această rată de schimbare crește apoi scade din nou (ceea ce se numește punct de inflexiune). Graficul lui y = 1,3 \ sin (x) este concav în sus de la -1,3 la 0 și apoi concav în sus de la 0 la 1,3. Este relativ ușor de observat că x = 0 este o soluție. Deoarece panta y = 1,3 \ sin (x) este mai mare decât panta y = x în acel punct, traversează de jos în sus acolo. Acum, în acest moment, am decis că ar trebui să dau seama de valoarea 1.3 \ sin (1.3). Amintiți-vă bineînțeles că funcția sinus se aplică unghiurilor date în radiani. Este mai puțin de 1,3.
În acest moment, ați putea deduce natura situației. Cele două funcții se încrucișează de trei ori de la -1,3 la 1,3. Apelați soluția pozitivă c. Din cauza simetriei (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) soluția negativă este -c. Concavitatea lui 1.3 \ sin (x) împiedică să existe alte soluții. Deci, nu mai rămâne decât să ne dăm seama ce este c.
Lucrul pe care unii studenți îl găsesc ciudat este că de multe ori nu există o „formă închisă” pentru soluția unei ecuații ca aceasta. Ne putem da seama că există o soluție între 0 și 1,3, dar cred că în acest caz nu avem o formulă pentru aceasta în ceea ce privește funcțiile familiare. Deci, dacă doriți să vă ocupați de el, trebuie să decideți ce trebuie să știți despre el.
Dacă doriți să îl calculați cu o anumită acuratețe, există câteva metode. Există o abordare naivă care funcționează în acest caz. Dacă luați o valoare de x între 0 și 1,3, dacă este mai mică decât soluția, atunci 1,3 \ sin (x) este mai mare și dacă este mai mare decât soluția, atunci 1,3 \ sin (x) este mai mică. Deci, dacă continuați să înlocuiți valoarea x cu 1.3 \ sin (x), se apropie de rădăcină. Deci, spun că încep cu x = 1.0. Apoi 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … deci folosiți asta ca valoare a lui x în continuare. Acest proces converge către soluție, deși nu foarte repede, deoarece fiecare pas aduce doar valoarea oarecum mai aproape de soluție.
O a doua metodă este de a împărți intervalul. Așadar, am putea încerca să evaluăm 1.3 \ sin (1.1) și 1.3 \ sin (1.2) pentru a obține prima zecimală a soluției. Din moment ce 1.3 \ sin (1.1) 1.2 se pare că rădăcina este între 1.1 și 1.2. Apoi putem încerca 1.3 \ sin (1.15) pentru a vedea dacă soluția este mai mică sau mai mare decât 1.15. De asemenea, această metodă nu converge atât de repede, deși funcționează bine în unele situații în care prima metodă nu.
Există și alte metode ( Root- algoritmul de găsire – Wikipedia ) în special metoda secantă și metoda lui Newton. Acestea converg mai repede.
Metoda secantă păstrează două aproximări de ambele părți, de exemplu 1.1 și 1.2. Apoi ne prefacem că graficele sunt ambele linii drepte pentru a obține o soluție aproximativă. Calculul nu este la fel de simplu, deși nu este cu adevărat implicat.
Iterația lui Newton cere să trasați o linie tangentă la curbă pentru a aproxima unde se încrucișează cele două curbe și apoi repetați. Dacă începeți cu o valoare suficient de apropiată de rădăcină, în general aceasta converge destul de repede.Numărul de cifre de precizie se dublează, în general, cu fiecare pas (deși pare puțin probabil ca cineva să dorească multe cifre de precizie la rădăcină).