Cel mai bun răspuns
Cum demonstrezi că identitatea depinde foarte mult de modul în care gândiți-vă la sinus și la cosinus.
Dacă vă gândiți la sinus și la cosinus ca la rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghiular (ca la liceu, unde predă sinusul opus peste hipotenuză), atunci veți obține un triunghi dreptunghi cu laturile a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (acesta din urmă prin triunghi pitagoric) și \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Dacă vă gândiți la sinus și cosinus ca la coordonatele unui punct de pe cercul unitar (parametrizat de lungimea arcul cercului), atunci prin definiția cercului unitar, fiecare punct îndeplinește x ^ 2 + y ^ 2 = 1, deci și punctul (\ sin \ theta, \ cos \ theta), deci \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinusul și cosinusul pot fi, de asemenea, definiți ca soluții independente la ecuația diferențială f = -f, cu \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Deoarece există doar două soluții independente la ecuație , și este ușor de văzut că f ^ {(n)} este o soluție, trebuie să fie cazul în care \ sin x, \ sin x, \ sin x nu pot fi soluții independente. De fapt, \ sin x = – \ sin x, deci \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, deci \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . De aici putem diferenția implicit \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x pentru a obține 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Deci valoarea lui \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x este o constantă și evaluată la 0 obținem \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, deci \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinusul și cosinusul pot fi de asemenea definiți prin seria de puteri \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. O extindere atentă a acelor serii de putere în expresia \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x va afișa toți termenii care implică x ^ n anulare, lăsând doar valoarea constantă a termenului 1.
Răspuns
Pentru a ne gândi la acest lucru, trebuie să luăm în considerare care sunt raporturile trigonometrice. Știm că raportul sinusoidal este egal cu unghiul opus unei laturi peste hipotenuză dintr-un unghi, sau o / h. Știm, de asemenea, că raportul cosinusului este egal cu partea adiacentă la un unghi peste hipotenuză sau a / h. Apoi, vedem că ambele rapoarte sunt pătrate, ceea ce înseamnă că identitatea trigonometrică, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, este echivalentă cu (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, care este egal cu o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Deoarece avem un numitor comun, putem combina aceste două ecuații pentru a obține, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Putem apoi să ne uităm la acest lucru și să ne dăm seama că definim toate laturile unui triunghi. Prin Teorema lui Pitagora știm că, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Putem vedea că, deoarece fiecare dintre aceste valori ale lui o, a și h sunt toate laturile diferite ale unui triunghi, că sunt egale cu a, b și c. Valoarea lui c în teorema lui Pitagora este ipotenuza unui triunghi unghiular drept, deci știm că h = c. Aceasta înseamnă că a și b sunt egale cu o și a. Nu contează care este atribuită cărei litere, deoarece rezultatele nu se vor modifica. Putem vedea apoi că, prin teorema lui Pitagora, știm că a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, ducând la o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Aceasta înseamnă că putem înlocui numeratorul ecuației noastre anterioare, făcându-l echivalent cu (h ^ 2) / (h ^ 2). În cele din urmă, știm că orice variabilă împărțită prin ea însăși este egală cu 1, prin urmare această ecuație este egală cu 1. Dacă revenim la ecuația inițială, am demonstrat că sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.