Cel mai bun răspuns
Pentru a dovedi acest lucru, folosește formula de scădere sinusoidală.
ie, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Aici a = π și b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Prin urmare, s-a dovedit
Răspuns
Dovada 1:
Cel mai simplu mod de a demonstra
cos (π / 2 – x) = sin x
înseamnă a pune A = π / 2, B = x în formula trigonometrică
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. păcatul B ………………………………. (1)
și obține
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Înlocuind cos π / 2 = 0 și sin π / 2 = 1 in (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Dovedit)
Dovada 2:
Fie ABC un triunghi dreptunghiular la B. Fie AB baza și AC hipotenuza. Dacă notăm unghiul C cu x, unghiul de bază A = (π / 2 – x) astfel încât A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π sau 180 °.
Acum pentru unghiul de bază A, BC este perpendiculară.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = bază / hipotenuză = AB / AC ………… .. (3 )
Pentru unghiul C, AB este perpendiculară și, prin urmare,
sin C = sin x = perpendicular / hipotenuză = AB / AC ……………. (4)
Echivalând (3) și (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Dovedit)
Dovada 3:
Utilizați formula Euler
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
care definește simbolul eⁱᶿ pentru orice valoare reală a lui θ. Aici i = √-1.
∴ Putem pune θ = (π / 2 – x) în formulă și să scriem
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Sau, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Acum e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i și e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Sau, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Din moment ce i² = -1]
Echivalarea părților reale și imaginare,
cos (π / 2 – x) = sin x (Dovedit)
și cos x = sin (π / 2 – x)
Observații finale:
Dintre cele trei metode prezentate aici pentru a demonstra afirmația dată, metoda preferată ar trebui să fie Dovada 1. Acest lucru se datorează faptului că este simplu, direct și rapid. Poate fi realizat mental de un elev mediu în aproximativ 30 de secunde. În proba 2, există loc pentru confuzie cu privire la care este baza, care este perpendiculară dreaptă care trebuie luată. În plus, trebuie să petreceți timp suplimentar pentru a desena un triunghi, pentru a marca laturile, unghiurile etc. Dovada 3 este bună; dar nu mulți sunt confortabili sau buni la lucrul cu funcții complexe. Metoda implică mai multă algebră decât celelalte metode; dar oferă un bonus și anume: dovedește formula cos x = sin (π / 2 – x).