Cel mai bun răspuns
Începeți prin a observa că păcat 35 ° este aproape de sin 30 ° = 1/2. Deci, știm imediat că este aproximativ 1/2. Aceasta se află la aproximativ 7\% din valoarea reală.
Să încercăm să obținem o estimare mai bună. După identitatea adăugării unghiului,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Acum, deoarece 5 ° = π / 36 este un unghi relativ mic, putem folosi aproximările sin x ≈ x și cos x ≈ 1. Deci
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Acum π ≈ 22/7 și (√3 / 2) ≈ 7/4 deoarece 49/16 ≈ 3. Deci primim
păcat 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Acest lucru diferă de valoarea reală cu mai puțin de 1\%.
O altă abordare o calculează folosind primii termeni cuplați în expansiunea din seria Taylor a sin x . Acest lucru este mai precis de 0,1\%, dar este mai greu de calculat manual decât 83/144.
Răspuns
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)] … (1)
Acum Sin (3x), din formula generală, este egal cu 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, deci punând x = 10 grade, ceea ce dă Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 și, prin urmare,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 sau, manipulând această ecuație și punând Sin (10) = y, obținem
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Rezolvați acest cub folosind o metodă iterativă numerică, cum ar fi metoda lui Newton-Raphson, de mână, pentru a obține, după un slog:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10) … (2)
Evident, puteți merge la mai puține cifre, în funcție de precizia dorită.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Puneți valorile pentru Cos (10) și Sin (10) în (1) de mai sus pentru a obține:
Sin (35) = 0.57357643639 după cum ați solicitat.