Cel mai bun răspuns
Să începem cu regula produsului.
Exemplu: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Cum am ajuns acolo? Regula produsului este: Când y = uv, uv fiind două funcții diferite multiplicate împreună – în acest caz sinus și cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)
Deci, în exemplul de mai sus, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 sau (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Regula produsului invers este doar opusul, ca și integrarea, este inversul / opusul diferențierii.
Deci, din dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Să integrăm totul! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx
Diferențierea y devine dy / dx, deci integrarea acestuia revine la y. Prin urmare, y = ∫u dv + ∫v du
Deoarece știm că y = uv (vezi mai sus) uv = ∫u dv + ∫v du
Apoi, doar rearanjăm ecuație ca atare:
∫u dv = uv – ∫v du Done.
Nici eu nu o înțeleg pe deplin, dar acest lucru este cât se poate de bun pentru a explica cum să derivă-l.
Răspuns
Iată un mod de a te gândi la asta: ∫udv se integrează de-a lungul axei v. Calculează aria de sub curba u spre v.
∫vdu se integrează de-a lungul axei u. Calculează aria din stânga curbei v, spre u.
Puneți cele două împreună și obțineți un pătrat: întreaga zonă dintre axele u și v. Suprafața totală este produsul celor două: uv. Pentru a rezuma, obțineți:
∫v du + ∫u dv = uv
De acolo puteți obține cu ușurință formula. De asemenea, este ușor de vizualizat.
Sursă: Sigma MathNet
Aceasta este o simplificare excesivă a ideii, care este mai generală decât aceasta, dar aceasta este o explicație obișnuită (și uneori tratată ca o dovadă informală). Pentru mai multe discuții, consultați Explicați-mi această dovadă fără cuvinte de integrare pe părți .