Cum să înțelegem ∫udv = uv-∫vdu? O interpretez ca o regulă inversă a produsului


Cel mai bun răspuns

Să începem cu regula produsului.

Exemplu: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Cum am ajuns acolo? Regula produsului este: Când y = uv, uv fiind două funcții diferite multiplicate împreună – în acest caz sinus și cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Deci, în exemplul de mai sus, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 sau (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Regula produsului invers este doar opusul, ca și integrarea, este inversul / opusul diferențierii.

Deci, din dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Să integrăm totul! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

Diferențierea y devine dy / dx, deci integrarea acestuia revine la y. Prin urmare, y = ∫u dv + ∫v du

Deoarece știm că y = uv (vezi mai sus) uv = ∫u dv + ∫v du

Apoi, doar rearanjăm ecuație ca atare:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

Nici eu nu o înțeleg pe deplin, dar acest lucru este cât se poate de bun pentru a explica cum să derivă-l.

Răspuns

Iată un mod de a te gândi la asta: ∫udv se integrează de-a lungul axei v. Calculează aria de sub curba u spre v.

∫vdu se integrează de-a lungul axei u. Calculează aria din stânga curbei v, spre u.

Puneți cele două împreună și obțineți un pătrat: întreaga zonă dintre axele u și v. Suprafața totală este produsul celor două: uv. Pentru a rezuma, obțineți:

∫v du + ∫u dv = uv

De acolo puteți obține cu ușurință formula. De asemenea, este ușor de vizualizat.

Sursă: Sigma MathNet

Aceasta este o simplificare excesivă a ideii, care este mai generală decât aceasta, dar aceasta este o explicație obișnuită (și uneori tratată ca o dovadă informală). Pentru mai multe discuții, consultați Explicați-mi această dovadă fără cuvinte de integrare pe părți .

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *