Cel mai bun răspuns
A2A.
Valoarea tan40 ° nu poate fi găsită folosind suma trigonometrică standard, formule de diferență sau de unghi multiplu. Cu toate acestea, dacă vă simțiți bine să rezolvați ecuații cubice, această metodă ar putea fi utilă –
Știm,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Înlocuind x ca 40 ° în această ecuație –
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Scrierea tan40 ° ca y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° este o valoare standard și este egală cu – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
La rezolvarea acestei ecuații, se obțin trei valori din care valoarea pozitivă produce tan 40 °.
Prin urmare, aproximativ, tan 40 ° = 0,8394.
Răspuns
Care este valoarea \ tan 40 ^ o?
Putem găsi valoarea lui \ tan 40 ^ o la orice nivel dorit de precizie folosind seria Taylor a lui \ tan x.
Seria Taylor a unei funcții reale sau complexe f (x) care este infinit diferențiată la un punct real sau complex a este dată de ,
f (x) = f (a) + \ frac {f „(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” „(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f „” „(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Acest lucru poate fi scris compact ca f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad unde f ^ {(n)} (a) denotă n ^ {th} derivatul lui f (x) la x = a.
Se poate observa că, în cazul funcțiilor trigonometrice, unghiul ar trebui să fie exprimat în radiani și nu în grade.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ dreapta) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Luând x = \ frac {2 \ pi} {9} și a = \ frac {\ pi} {4}, avem (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
La a = \ frac {\ pi} {4}, \ tan x este diferențiat infinit.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f „(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f „\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” „(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „” (a) = f „” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f „” „(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „” „(a) = f” „” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ dreapta) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ approx 0.83892575.
Valoarea lui \ tan (40 ^ o) așa cum este dat de Excel este 0,83909963.
Se poate observa că, chiar și cu doar 4 termeni din această serie infinită, eroarea este doar 0,0272 \\%.
necesar, putem lua termeni suplimentari ai seriei infinite.