Cel mai bun răspuns
Deoarece elipsa este un cerc strivit, am putea considera un cerc echivalent. Aceasta ar fi doar o aproximare și nu valoarea exactă a perimetrului elipsei.
Știm că ecuația unei elipse este:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Când a = b = r aceasta devine ecuația unui cerc. Așa că aș putea scrie ecuația razei echivalente a cercului în termeni de „a” și „b”.
Mai degrabă luând media „a” și „b” am obține o aproximare mai bună prin luând rădăcina medie a pătratului „a” și „b”.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Prin urmare, perimetrul aproximativ al elipsei ar fi:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Există aproximări mult mai bune, dar cred că acest lucru ar fi suficient.
Sper că acest lucru a ajutat.
Răspuns
Să încercăm dacă putem găsi circumferința unei elipse.
O elipsă cu axa semi majoră a și axa semi minoră b are ecuația:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Un grafic (va trebui să ne ocupăm de vopsea aici, software-ul meu Math necesită o reînnoire a licenței):
Pentru a găsi circumferința, trebuie să exprimăm o parte din această circumferință \ text {d} s în funcție de \ text {d} x, \ text {d} y și sperăm să ajungem la o anumită expresie utilizabilă.
Dacă presupunem că putem aproxima \ text {d} s printr-o linie dreaptă, putem aplica Pitagora:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
sau
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Presupun că luăm întotdeauna \ text {d} x> 0 sau ne deplasăm de la stânga la dreapta de-a lungul axei majore.
Nu mai rămâne decât să faceți publicitate d aceste mici contribuții de lungime a arcului. Putem lua în considerare x \ în [0, a] și să ne înmulțim cu 4 deoarece elipsa noastră este simetrică pe axa x, y.
Am găsit:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Dacă găsim un mod (frumos) de exprimare:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
suntem în afaceri.
Cu toate acestea, avem deja expresia (1), care se referă la y la x. Timpul de calculat (3), voi folosi diferențierea implicită:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
sau
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ etichetă * {}
sau
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Trebuie să putem scrie acest lucru folosind doar x. Vom folosi din nou (1):
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Înlocuiți (5) cu (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Înlocuiți în (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Există câteva opțiuni pentru rescrierea acestei integrale. O opțiune ar fi setarea x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z și una ar ajunge la:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
O altă metodă ar fi utilizarea unei parametrizări a elipsei de următoarea formă:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Și acest lucru duce la o integrală eliptică de al doilea fel, care este mai mult sau mai puțin abordarea standard:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
cu
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
excentricitatea elipsei.
Comparând expresiile (6,7) și (8), vedem că s-ar putea prefera (8) în locul (6, 7). Ultima expresie nu este doar mai simplă în parametrul său e, ci se comportă frumos. În expresia (6,7) avem încă o problemă când x \ to a, z \ to 1.
Cu toate acestea, nu există nicio expresie de formă închisă pentru rezultat. Pentru un cerc avem e = 0 și (8) se reduce frumos la 2 \ pi a, așa cum ar trebui să facă. Același lucru este valabil pentru (6,7).