Cel mai bun răspuns
Răspuns inițial: Ce este o estimare bună a rădăcinii cubice din 4?
A n-a rădăcină a lui N este o rădăcină a lui x ^ nN = 0. Derivata lui x ^ nN este nx ^ {n-1}, deci având în vedere o estimare inițială, x, a rădăcinii, o estimare mai apropiată folosind metoda lui Newton este
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
care este media ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 din acestea}} \ text {și} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Această medie ponderată are sens odată ce vă dați seama că atât x cât și \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} sunt estimări ale rădăcinii a N-a, că sunt „dezactivate” în direcții opuse și că x este o estimare de n-1 ori mai bună decât \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Acum, să aplicăm metoda …
Fie N = 4. Fie x valoarea estimată a rădăcinii cubice a lui 4. Începeți cu o estimare bună, cum ar fi x = 2. Apoi calculați
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ pentru a obține o estimare mai bună.
În acest caz,
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1.66666667 …
Apoi, repetați folosind x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ approx 1.5911111 …
Această aproximare este bună la aproximativ 3 cifre semnificative, așa că haideți să o mai facem încă o dată,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ approx 1.58740969614163 …
Acest lucru este bun cu aproximativ 6 cifre semnificative. Cu fiecare iterație, numărul cifrei corecte se dublează aproximativ.
Răspuns
În funcție de cât de mult știi în matematică, există 2 moduri posibile-
- Utilizați logaritmi
- Utilizați metode iterative (metoda Bisecției, metoda Newton-Raphson etc.)
Logaritmi- Ia x = 2 ^ {1/3}
Deci, log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (aproximativ)
prin urmare, x = antilog (0.100343) = 1.2599 (aproximativ)
Metode iterative- Voi arăta cu metoda de bisecție, puteți încerca altele dacă doriți. (Procesul este aproape același.)
Fie x = 2 ^ {1/3}
Deci, x ^ 3 – 2 = 0
Fie f (x) = x ^ 3 – 2
Alegem două valori astfel încât una să dea f (x) <0 și alta să dea f (x)> 0
Vedem că f (x) <0 pentru x = 1 și f (x)> 0 pentru x = 2. Deci, x1 = 1, x2 = 2
Acum luăm media acestor valori ca noi x
Deci, nou x = (1 + 2) / 2 = 1.5
f (1.5) = 1.375> 0
Vedem că atât 1.5, cât și 2 dau valori> 0, deci aruncăm 2, deoarece dă valoarea lui f (x) mai departe de 0. Păstrăm doar valorile lui x care dau valoarea lui f (x) mai aproape de 0
Deci luăm x1 = 1 și x2 = 1.5
găsim din nou x = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
f (1.25) = -0.046875
Acum aruncați 1 ca 1.25 dați valoarea lui f (x) mai aproape de 0
deci luăm x1 = 1.25 și x2 = 1.5
Din nou găsim x nou ca medie a acestor 2 valori, înlocuiți cu f (x) pentru a-i vedea semnul și, în funcție de aceasta, luăm noile noastre valori x1 și x2.
Repetați acest proces până când sunteți mulțumit de răspunsul dvs. (x final).
P.S. Aceste procese nu vor da niciodată un răspuns exact, trebuie să vă opriți pe unul aproximativ.