Cel mai bun răspuns
La vizualizarea celorlalte răspunsuri deja postate, nu sunt deloc mulțumit de completitudinea lor. … Și, în calitate de profesor de matematică cu experiență, mă simt obligat să dau un răspuns complet.
Formula cos (2x) pe care ați indicat-o este una dintre cele trei identități cu unghi dublu pentru cosinus. Rezolvarea acestei ecuații pentru sin (x / 2) are ca rezultat identitatea la jumătate de unghi pentru sinus.
Vă rugăm să rețineți că unde Am marcat *. Una dintre regulile mai puțin cunoscute ale trigonometriei indică faptul că puteți împărți în mod echivalent toate argumentele funcției trig la aceeași constantă de ambele părți ale unei ecuații. De fapt, puteți diviza orice constantă. dar acest lucru nu poate fi întotdeauna util. Încercați să rezolvați ecuația de mai sus pentru păcat (x / 3), apoi folosiți aceasta pentru a găsi păcatul (pi / 12). Funcționează frumos.
Acum, pentru a utiliza de fapt formula sin (x / 2), trebuie să manipulați ecuația dată folosind o fracțiune echivalentă, complexă, așa cum se arată aici:
Desigur, acest lucru este demonstrat în prima imagine de mai sus. Pe lângă cunoașterea / derivarea identității de unghi unghiular, provocarea mai mare este de fapt aplicarea ei.
Răspuns
I. Să folosim o abordare de rezolvare a problemelor cunoscută sub numele de echivalență .
Cu această abordare alegem un obiect avantajos sau un set de obiecte și arătăm la ei din diferite … unghiuri cu speranța că putem obține o relație fructuoasă în acest proces.
Un astfel de obiect sau noțiune ar putea fi suprafață pătrată .
Începem cu un triunghi dreptunghic a cărui lungime a hipotenuzei este o unitate, alegem un unghi x și marcăm lungimile laturilor triunghiului ca \ cos x, pe care suntem de acord să îl tratăm ca pe triunghiul înălțime și \ sin x, pe care suntem de acord să le tratăm ca baza triunghiului :
Atunci considerăm că este un fapt dovedit că aria pătrată a unui triunghi este produsul înjumătățit al bazului său e peste înălțime:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Pasul următor este destul de provocator, deoarece în vid nu știm exact ce ne așteaptă de cealaltă parte a lui 2 \ sin x \ cos x. Din punctul de vedere al descoperitorilor, ne uităm în prăpastia necunoscutului. Așa că numiți-l intuiție, un gând fericit sau doar un nas, dar motivăm astfel:
ok, am găsit o modalitate de a atașa o noțiune concretă (o zonă pătrată) la un altfel abstract și, să recunoaștem ea, o expresie destul de misterioasă, dar – nu tocmai din moment ce trebuie încă să lucrăm factorul 2 acolo.
Cum putem face asta?
Ei bine, ce zici de alăturarea celor două triunghiuri identice? împreună?
Atunci înălțimea, sau \ cos x în lingo-ul nostru, rămâne aceeași, dar câștigăm sudând cele două baze identice, \ sin x în lingo-ul nostru, într-o singură:
Observați că vă urmăm / interpretăm pedant expresia.
Acum este momentul pentru echivalență să stai înalt și să fii numărat. Noua formă compusă este încă un triunghi, iar suprafața pătrată este încă:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
dar avem dreptul să privim aceeași formă diferit: dacă tratăm latura lungimii 1 ca bază, atunci perpendiculara pe aceasta, afișată în roșu, este înălțimea. Dar unghiul de la vârful de sus este de 2x. Prin urmare, noua înălțime prin definiție este:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Prin urmare, aceeași zonă pătrată a aceluiași triunghi poate fi redat ca:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Dar ( 2 ) și ( 4 ) reprezintă aceeași magnitudine. Prin urmare:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
de unde descoperim că:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Pentru un tratament similar, dar mai literat, începeți cu același triunghi ca mai sus și dublați lungimea laturii sale \ sin x construind un cerc \ sigma cu centrul la B și raza BA:
Dar acum AC se intersectează \ sigma la E (atâta timp cât x 5 ^ {\ circ}) și fie prin Teorema lui Thale, fie prin B3P31 al lui Euclid (unghiul dintr-un semicerc este drept) unghiul de la E este drept:
și din moment ce triunghiurile dreptunghiulare ABC și AED au un unghi comun \ theta rezultă că \ angle ADE = x și din \ triangle AED pentru ED avem:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Dar din triunghiul dreptunghiular CED pentru ED avem:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
și, prin urmare:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(s-ar putea să vă gândiți la aceasta o echivalență mai slabă deoarece am folosit lungimea unui segment de linie pentru a acoperi decalajul dintre cele două piese împreună)
III. Probabil că această versiune poate părea prea avansată, dar o voi arăta oricum și din două motive. Un motiv este acela de a demonstra că în matematică nu numai că există multe modalități diferite de a obține același rezultat, dar unele dintre aceste modalități pot părea surprinzătoare. Celălalt motiv – veți avea ceva de așteptat cu nerăbdare să învățați.
La un moment dat în educația dvs. matematică puteți întâlni aceste obiecte numite numere complexe . Cu aceste numere, cele două funcții trigonometrice ale noastre pot fi înregistrate după cum urmează (datorită unui mare matematician elvețian Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
unde e este Numărul lui Euler și i are această proprietate ciudată că i ^ 2 = -1, dar ignoră toate acestea pentru o clipă și pur și simplu înmulțiți cele două fracții de mai sus în conformitate cu regulile algebrei gimnaziale:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
conform ( 5 ).