Cel mai bun răspuns
Un număr complex este un număr din două părți. Are o parte reală și o parte imaginară. Tindem să-l scriem sub forma,
a + bi, unde i este rădăcina pătrată a unuia negativ, adică (-1) ^ (1/2)
Între timp , pătratul unui număr este numărul de ori în sine. Aceasta înseamnă că
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Am întâlnit ceva similar cu acest lucru atunci când am luat în considerare factorii ecuațiilor pătratice. Există o abordare sistematică pentru extinderea produsului din doi factori din două părți. Este posibil să fi întâlnit acronimul „FOIL”:
- Înmulțiți cei doi F primii termeni
- Înmulțiți cei doi O termeni uter
- Înmulțiți cei doi I termeni interiori
- Înmulțiți cei doi L ast termeni
Sumați cei patru termeni pentru răspuns
Aplicați aceeași abordare FOIL , cu (a + bi) * (a + bi), obținând
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Putem reorganiza un pic. Cei doi termeni din mijloc sunt aceiași, deci îi putem lista o dată, dar înmulțiți cu doi.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Și acum, vom privește ultimul termen și realizează că pătratul unui produs poate fi scris ca produs al pătratelor separate. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Să aplicăm această regulă:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Dar „i” este rădăcina pătrată a -1. Pătratul rădăcinii pătrate a unui număr este numărul în sine. Deci (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Să conectăm acest lucru.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Ultimul termen este încă urât. Putem naveta „cel negativ de ori) pe cealaltă parte și putem rescrie întregul termen ca o scădere.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Dar uitându-ne la expresie, nu urmăm formatul unei părți reale urmată de o parte imaginară. Avem o parte reală, o parte imaginară și o altă parte reală. Să grupăm din nou părțile reale.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Răspuns
Mai întâi, gândiți-vă la un număr complex, a + bi ca o pereche ordonată (a, b ). În PLANUL COMPLEX cu o AXĂ REALĂ orizontală în care axa x este în mod normal și o AXA IMAGINARĂ verticală în care axa Y este în mod normal, graficați punctul (a, b) în mod normal. Acum, distanța de la origine la punctul (a, b), cred că se numește MODULUL numărului complex, să apelăm la r.
Știm că r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) de teorema PITAGOREANULUI. (Ne pare rău pentru notație, dar „m-am limitat cu asta.)
De asemenea, unghiul dintre axa reală pozitivă și linia de la origine la (a, b) vom numi Theta (să folosim T pentru asta). (Se numește ARGUMENTUL numărului complex)
Acum. Numărul complex a + bi poate fi scris în FORMA POLARĂ ca
a + bi = r (Cos T + iSin T) deoarece
a = r CosT și. b = r Sin T
Pentru a lua rădăcina pătrată a a + bi, utilizați forma polară.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Deci, pentru a face acest lucru simplu, uitați-vă doar la graficul numărului complex a + bi, cu o linie de la origine la (a, b). Acum rotiți linia pe jumătate înapoi pe axa x și scurtați-o la rădăcina pătrată atâta timp cât a fost. Coordonata acelui punct final este rădăcina pătrată a numărului complex er rădăcina pătrată este la doar 180 de grade de acolo.
Pentru a demonstra asta, să luăm rădăcina pătrată a lui Z = -4
Graficul este un punct pe axa reală negativă , 4 unități în stânga originii. Unghiul T = 180 de grade.
pentru a lua rădăcina pătrată de -4, rotiți linia înapoi la 90 de grade (jumătate de 180) și scurtați lungimea acesteia la 2 rădăcina pătrată de 4. Înfășurăm 2 unități pe axa imaginară. Așadar, o rădăcină pătrată de -4 este 2i. Iar cealaltă rădăcină pătrată este -2i, la 180 de grade distanță.
În simboluri:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
și 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Pentru a obține rădăcina pătrată a lui (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radical 2 peste 2 + (i) radical 2 peste 2.