Cel mai bun răspuns
Există două moduri de a spune dacă o matrice (și, prin urmare, sistemul de ecuații pe care matricea îl reprezintă ) are sau nu o soluție unică.
a. Metoda lui Cramer.
Convertiți sistemul de ecuație în forma matricei AX = B unde A = matricea co-eficienților, X = matricea variabilelor și B = matricea rezultatelor.
Denumiți matricea co-eficienților ca D. Pentru o matrice 3 x 3, înlocuiți prima, a doua și a treia coloană a matricei D cu rezultatele Matricea coloanei pentru a obține matricile Dx, Dy și Dz.
- Dacă D nu este egal cu 0 și dacă cel puțin unul dintre Dx, Dy și Dz nu este egal cu 0, atunci sistemul de ecuații este consecvent și are o soluție unică.
- Dacă D = 0 și dacă Dx, Dy și Dz = 0, dar dacă cel puțin unul dintre constituenții matricei co-eficiente (aij) sau cel puțin unul dintre 2 x 2 minori nu este egal cu 0, atunci sistemul de ecuații este consecvent și are infinit de multe soluții.
- Dacă D = 0 și cel puțin una dintre Dx, Dy și Dz nu este zero, atunci sistemul de ecuații este inconsistent (Fără soluție).
Astfel, sistemul de ecuații produce o soluție unică numai atunci când valoarea din determinant nu este egal cu zero.
b. Metoda de clasificare
Scrieți sistemul de ecuații în format matricial AX = B unde A = Matricea co-eficienților, X = Matricea variabilelor și B = Matricea rezultatelor.
Aflați rangul matricei A.
Notați matricea augmentată [A, B]
Aflați rangul matricei augmentate [A, B]
- 1. Dacă rangul matricei A nu este egal cu rangul matricei augmentate, atunci sistemul de ecuații este inconsistent și nu are nicio soluție.
- Dacă rangul ambelor matrice este egal și egal cu numărul de variabile necunoscute în sistem și dacă matricea A este non-singulară, atunci sistemul de ecuații este consecvent și are o soluție unică.
- Dacă rangul ambelor matrice este egal, dar dacă rangul este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul de ecuații este consistent și are infinit de multe soluții. Deci, există doar trei posibilități – Neconsistent și Nicio soluție, În concordanță cu soluția unică, În concordanță cu multe soluții.
Deci sistemul cedează o soluție unică numai atunci când rangul matricei de coeficienți = Rangul matricei augmentate = Număr de necunoscute.
Răspuns
Teoria îți spune că Ax = b are o soluție unică dacă \ det (A) \ neq0 și altfel nu are nicio soluție sau infinit de multe. Matricea se numește singular în acest caz
Practica, totuși, vă spune că acest lucru nu se întâmplă aproape niciodată. Deci fiecare set de ecuații poate fi rezolvat? Da și nu. Dacă matricea este aproape singulară, puteți obține o soluție, dar nu va fi semnificativă. Motivul este că micile fluctuații din partea dreaptă pot provoca fluctuații enorme (cu mai multe ordine de mărime) în soluție. Sistemul este numit condiționat prost în acest caz. Acesta este un lucru rău, deoarece în cursul calculelor puteți pierde cifre semnificative din cauza scăderii unor cantități aproape egale.
numărul condiției \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | este măsura teoretică. Cea mai bună valoare este 1, cu atât este mai mare cu atât mai rău. Dar nu este atât de ușor de calculat. O modalitate practică de a face acest lucru este să luați o mică perturbare aleatorie a mâinii drepte și să comparați cele două soluții. Dacă diferă semnificativ, aveți un sistem prost condiționat.