Cel mai bun răspuns
Cum rezolv tan theta = -2?
Ei bine, pentru aceasta, începem prin utilizarea funcției arctan , care este inversul tangent funcție și găsește o valoare \ theta astfel încât \ tan (\ theta) = -2.
Putem calcula valoarea, dar acesta este un complex „procedură care implică numere„ imaginare ”. Acest lucru pare a fi o mulțime de probleme, astfel încât utilizarea unui set de tabele ar fi mai ușoară, chiar dacă poate puțin mai precisă. În timp ce am un set vechi în mansarda părintelui meu, în prezent nu mi-a mai folosit, așa că haideți să căutăm pe internet câteva mese. Așteptați, dacă am acces la internet, de ce să nu văd dacă internetul poate face calculul pentru mine?
Ei bine, aceste aproximări sunt probabil mai exacte de care avem nevoie, dar vom rămâne cu ele pentru moment.
Poate că nu vă place ideea unghiurilor negative? Nu vă faceți griji, este ușor să le convertiți în unghiuri pozitive adăugând 2π radiani / 360 °.
Astfel avem 5.17603659 radiani / 296.5650512 °
Dar, nu am terminat !
Funcția arctan numai „returnează” unghiuri în intervalul exclusiv (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), adică (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Deci, există alte unghiuri a căror valoare tangentă este -2?
În primul rând, funcția tangentă dă o valoare negativă atunci când unghiul se află în al doilea și al patrulea cadran, și anume atunci când unghiurile sunt în intervalele exclusive (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) și (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Avem deja soluția în al patrulea cadran, deci care este soluția în al doilea cadran? Asta este estul, luați doar π radiani / 180 ° din soluția din al patrulea cadran.
De ce? Ei bine, din formula unghiului compus pentru funcția tangentă , avem:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (\ pi) = 0
Aceasta ne oferă a doua soluție, 2.03444393 radiani / 116.5650512 °
În al doilea rând, funcția tangentă este periodică, cu o perioadă de 2π radiani / 360 °; aceasta înseamnă că adăugarea oricărui multiplu de 2π radiani / 360 ° la unghiul nostru va reveni la aceeași valoare tangentă .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – ca \ tan (2 \ pi) = 0
Astfel, folosind k pentru a reprezenta orice număr întreg, setul nostru complet de soluții este:
(2.03444393 + k \ pi) \ radiani sau (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Răspuns
Reamintim că sec (theta) = 1 / (cos (theta). Apoi aveți
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, care este o ecuație pătratică în cos (theta). Cele două rădăcini ale acestei ecuații sunt (3 + – sqrt (5)) / 2 care sunt de fapt 1 + – phi, unde phi este faimosul „raport de aur” și sunt rădăcinile pătratului x ^ 2 – x – 1.
Deoarece phi este o rădăcină, împărțirea acestei ecuații la phi ^ 2 arată că cealaltă rădăcină este -1 / phi. Și din moment ce phi + 1 = phi ^ 2, avem că rădăcinile ecuației dvs. originale sunt phi ^ 2 și 1 / phi ^ 2. Deoarece cosinusul trebuie să fie 1, trebuie să folosim rădăcina mai mică .
Acum luați în considerare vechile serii Fibonacci 0, 1,1, 2, 3, 5, 8, în care (n + 1) al treilea termen este suma termenilor n și 1. Se pare că phi și rădăcina sa conjugată sunt strâns legate de această serie. Modul în care acest lucru se aplică aici este acesta:
Dacă al n-lea termen Fibonacci este F (n), atunci phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Dovada este o inducție pe n, folosind definiția Fibonacci F (n + 1) = F (n) + F (n-1) în ultimul pas.) Vrei să arăți atunci că phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. Cel de-al 6-lea și al 7-lea F sunt 5 și 8. Deci, ați evaluat
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Dacă înmulțiți acest lucru și raționalizați al doilea termen, obțineți 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED