Cel mai bun răspuns
Se dă faptul că
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Acum valoarea lui x ^ 2 va fi – \ omega și – \ omega ^ 2
Unde
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Și
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Să luăm x ^ 2 va fi – \ omega
Acum expresia dată este \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Reamintim acum că \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Deci
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Deci, răspunsul este 0
=========================================== ================= ===
Ți-a plăcut răspunsul meu? Doriți să citiți mai multe scrieri, precum lucrurile care v-au plăcut mai sus? Vă rog să mă urmați și să votați acest răspuns.
Răspundeți
Această problemă este destul de simplă decât arată la început și este o lecție despre cât de utilă este poate fi căutarea – și apoi exploatarea – simetriei. Problema nu necesită niciun calcul pentru rezolvare, deși dacă cunoașteți un anumit calcul, această abordare funcționează foarte bine. Cheia unei soluții non-Calcul este să observăm că dacă aceeași valoare minimizează g (x) și h (x), atunci minimizează și g (x) + h (x). Vedeți de ce este adevărat acest lucru?
Cum putem aplica această idee acestei probleme?
Luați în considerare g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Această funcție este simetrică aproximativ x = 3,5 – punctul la jumătatea distanței dintre valorile +3 și +4 care se adaugă la x – deoarece o putem scrie ca g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Dacă lăsăm y = x + 3.5, această simetrie implică faptul că g (y) trebuie să fie un polinom uniform, prin urmare conține termeni cu numai puteri pare ale lui y. Deoarece este un polinom uniform, teorema binomului ne spune că toți coeficienții trebuie să fie pozitivi. (De fapt, este g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, dar nici nu avem nevoie să găsim în mod explicit acești trei termeni pentru a termina argumentul.) Deoarece y = 0, minimizează în mod clar fiecare din sumandele lui g (y) individual deoarece fiecare este o putere egală a lui y cu coeficient pozitiv, observația noastră inițială implică faptul că y = 0 trebuie să minimizeze și g. Deci, am descoperit că x = -3,5 este minimizatorul unic al g (x).
În continuare, ia în considerare h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Această funcție este ușor mai simplă decât g, deoarece este pătratică, iar un argument aproape identic implică faptul că x = 3.5 este, de asemenea, minimizatorul unic al h (x). Exploatați simetria pentru a o scrie ca h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Apoi, rețineți că h (y) este un polinom uniform (prin urmare are doar puteri egale de y) și utilizați teorema binomului pentru a concluziona că are doar coeficienți pozitivi. De fapt, h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, dar din nou, nu este nevoie să îl găsim în mod explicit. Deoarece y = 0 minimizează toți termenii adăugați pentru a produce h (y), știm că y = 0 minimizează h (y) și concluzionăm că x = -3,5 este minimizatorul unic al h (x).
În sfârșit, deoarece x = -3.5 este minimizatorul unic atât al g (x) cât și al h (x), este minimizatorul unic al sumei lor, iar problema este rezolvată.