Cel mai bun răspuns
Să contorizăm prima dată apariția cifrei 2 în 1 până la 10. Numai că există 1 acolo, și anume pentru numărul 2.
Apoi, luați următoarele zece numere și numărați apariția cifrei 2 din ele și obținem 2, și anume la numerele 12 și 20.
În același mod, apare de 10 ori în numerele 21-30, deoarece apare de două ori în 22.
Continuând în același mod pentru următoarele numere până la și inclusiv 120, vom aflați că există o dată la fiecare zece numere plus încă o dată, în total 10.
Între 121 și 130 apare din nou de 10 ori, deoarece apare din nou de două ori în 122.
De la 131 la 190 cifra 2 apare o dată la fiecare 10 numere, în total 6.
Și în ultimele zece numere (191-200) apare de două ori.
Adăugarea tuturor aparițiilor împreună găsim cifra 2 apare de 41 de ori, și anume în numerele 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 și 200.
Răspuns
Vă voi arăta două reguli, pot fi multe.
Între ele primul este ușor, iar al doilea este mai matematic și științific:
Procesul 1:
Dacă facem n ^ 5 ultima cifră a rezultatului vine întotdeauna la fel ca ultima cifră a lui n.
Acum, dacă adăugăm (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Ultima cifră va veni ca ultima cifră a adunării (1 + 2 + 3 + … .. + 99) .
Acum,
Ultima cifră a adunării (1 + 2 + 3 + … .. + 99)
= Ultima cifră a \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= Ultima cifră a \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Deci, ultima cifră a adunării,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) va fi Zero.
Procesul 2:
Știm că,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Deci, pentru (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
Răspunsul va fi,
161708332500
Deci, ultima cifră este zero .
PS: Știm că 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a este scris matematic ca \ Sigma n ^ a. Formula generală pentru suma puterii este cunoscută sub numele de Formula Faulhaber (cunoscută și sub numele de formula lui Bernoulli):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ underline {k-1} n ^ {p-k + 1}
unde, \ textbf {p} ^ \ underline {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} se numește factorial în scădere și B\_ {k} sunt numerele Bernoulli.
Folosind această formulă putem deduce orice formulă specifică pentru putere sumă, așa cum este dată mai jos:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Vă mulțumim că ați citit răspunsul meu. Sper că acest lucru vă va ajuta.