De ce este adevărat [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math]?


Cel mai bun răspuns

Definiția urmări ca suma intrărilor diagonale ale unei matrice este ușor de învățat și ușor de înțeles. Cu toate acestea, nu are (a priori) vreo interpretare geometrică frumoasă sau de altă natură — pare doar un instrument de calcul. Atacarea din această perspectivă înseamnă practic că sunteți blocat cu dovezi de calcul ale unor fapte precum tr (AB) = tr (BA).

Ele nu sunt „t rele , în sine. Sunt ușor de înțeles și cu siguranță ce ar trebui arătat atunci când cineva învață inițial algebra liniară. Există un motiv mai profund pentru care tr (AB) = tr (BA), dar este destul de abstract și necesită în special produsul tensor pentru a înțelege.

Luați în considerare spațiul operatorilor liniari dintr-un vector spațiul V înapoi la sine. Dacă alegem un anumit set de coordonate, acești operatori vor arăta ca niște matrice pătrate. Cu toate acestea, vom urmări să evităm coordonatele cât mai mult posibil.

Notăm prin V ^ * spațiul dual al lui V, care este spațiul funcționalelor liniare pe V — adică hărți liniare \ lambda astfel încât dacă conectăm un vector v, \ lambda (v) este un scalar.

Dacă luăm apoi produsul tensor V ^ * \ otimes V, acesta este izomorf în spațiul operatorilor liniari V \ rightarrow V. Izomorfismul funcționează astfel: dacă w \ in V, atunci (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

De asemenea, putem afla cum funcționează compoziția în acest izomorfism – -reamintim că compoziția hărților liniare este același lucru cu înmulțirea matricelor corespunzătoare.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

prin urmare

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Acum, cum funcționează urme intră? Ei bine, există o hartă naturală de la V ^ * \ otimes V la câmpul scalarilor care funcționează astfel: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Lucrul uimitor este că, dacă rezolvați totul în coordonate, aceasta este urma.

Acest lucru arată că urma, departe de a fi un instrument de calcul abstract, este de fapt o hartă fundamentală și naturală în algebra liniară. . În special, analiza de mai sus oferă automat o dovadă că tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Dar de ce este declarația mai puternică tr (AB) = tr ( BA) adevărat? Ei bine, să le calculăm pe amândouă.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Pe de altă parte:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , deci AB corespunde împerecherii \ lambda\_1, \ lambda\_2 și v\_1, v\_2 într-un fel, iar BA corespunde împerecherii acestora în celălalt mod, dar odată ce luăm urmele, acestea se împerechează din nou , iar în acel moment nu mai există nicio diferență.

Frumos.

Răspunde

Dovada \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) este un calcul simplu:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Nu sunt sigur dacă acest lucru răspunde părții „de ce” a întrebării, în sensul „Da, Văd că calculul funcționează, dar de ce ? „.

Nu este adesea posibil să explicăm „de ce” ceva este adevărat. Aici poate este util să observăm că AB și BA împărtășesc de fapt mult mai mult decât urmele: au același polinom caracteristic .

O altă observație utilă este că Dacă A sau B sunt non-singular (inversabile), atunci AB și BA sunt matrici similare, pur și simplu pentru că

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Matricile similare au în mod clar aceleași valori proprii, deci în special au aceeași urmă. Putem argumenta prin continuitate (peste câmpurile în care acest lucru are sens) pentru a concluziona că același lucru se aplică chiar și în cazul singular.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *