Cel mai bun răspuns
Prin definiție, există 360 de grade într-o rotație completă; astfel, 45 de grade reprezintă jumătate din jumătate din jumătate a unei rotații complete, adică 1/8 dintr-o rotație completă.
Luați un pătrat și trageți linii de la centru la colțuri și la punctele medii ale fiecărei părți. Aceasta pune opt unghiuri egale în jurul centrului; astfel, acele unghiuri sunt toate de 45 de grade.
Putem vedea, de asemenea, că obținem triunghiuri dreptunghiulare pentru fiecare dintre acestea, unde în fiecare caz ambele picioare ale acestor triunghiuri dreptunghiulare sunt egale (jumătate mai mari ca o latură a patratul). Astfel, tangenta (în sensul piciorului opus / piciorului adiacent) de 45 de grade este 1.
Răspuns
“ Ce este bronzul (45)? ”
Dacă x este un număr rațional diferit de zero, atunci tan x este irațional (dovedit de Lambert, 1761). Nu știu dacă s-a dezvoltat vreo dovadă decât tan x trebuie să fie transcendental, deși a existat o astfel de dovadă pentru sinus și cosinus.)
Acum, 45 este un număr rațional diferit de zero, deci tan 45 trebuie să fie irațional.
Cea mai simplă formă de expresie exactă pentru această valoare este tan 45. Nu o puteți exprima mai simplu și aveți expresia reprezentată exact tan 45.
Dacă sunteți interesat de o aproximare numerică pentru a obține o bună percepție a mărimii și semnului numărului, vom au: tan 45 = 1,619 775 190 543 861 549 982 796 517 …
Pentru cei care pretind în mod eronat în răspunsurile lor decât tan 45 = 1, ați încălcat teorema la care am făcut referire la prima. Ați încălcat teorema făcând o astfel de afirmație și, deoarece teoremele necesită dovada corectitudinii lor, orice încălcare a teoremei înseamnă că ceva a fost făcut incorect. În acest caz, eroarea presupune că tan 45 înseamnă tan 45 °, Dacă doriți tangenta (de sinus, cosinus, cotangent, secant sau cosecant al unui unghi care este un anumit număr de grade și doriți să utilizați acel număr, atunci este obligatoriu să utilizați simbolul ° sau să înmulțiți acest număr cu π / 180. Argumentul funcției tangente nu trebuie să aibă nimic de-a face cu unghiurile – poate fi orice număr real (cu excepția cazului în care sunt generate singularități astfel ca π / 2) cu semnificație arbitrară. Acum, unghiurile corespund de fapt numerelor reale – acest lucru nu este adevărat pentru lungimi, durate de timp etc., dar unghiurile au această caracteristică specială. Unghiurile sunt de fapt mărimi adimensionale, ceea ce înseamnă că pot să fie exprimate ca simple numere. Acum, există nume diferite de unități pentru unghiuri, deoarece este adesea convenabil să se facă referire cu ușurință la diferite dimensiuni de unghiuri. Fiecare nume de unitate unghiulară (semicerc, radian, grad, arcminut, secundă de arc etc.) corespunde unei numere valoare. Se pare că dacă aveți un cerc de rază 3 m și un arc al cercului respectiv cu lungimea de 6 m, unghiul subtensionat este (6 m) / (3 m) = 2 (observându-se că metrii din numărător și numitor se anulează reciproc pentru a produce doar un număr ), dar 2 din ce. Definiția unui radian este acel unghi astfel încât lungimea arcului și raza cercului să fie egale, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Astfel, rad = 1/1 = 1. Deoarece rad = 1, noi poate scrie 2 rad = 2 × 1 = 2, deci scrierea explicită a rad în exprimarea valorii unui unghi este opțională. Uneori este foarte util să evităm ambiguitatea (cum ar fi să distingem o frecvență unghiulară de 1 rad / s față de o frecvență ciclică de 1 [ciclu] / s = 1 Hz) și vom insista să includem rad pentru o comunicare clară, chiar dacă este nominal opțional; în alte cazuri, nu există nicio ambiguitate și este complet bine să lăsați rad.
Acum, 180 ° = π rad, două expresii diferite referitoare la unghiul unui arc semicircular. Dacă împărțim prin laturi ale ecuației cu 180, vedem: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, deoarece rad = 1. Cu alte cuvinte, gradul este, de asemenea, doar un număr, dar valoarea acestuia nu este 1; prin urmare, nu putem scrie în mod valid 45 ° = 45 și trebuie doar să aruncăm simbolul ° în mod cavalier. Deoarece ° reprezintă numărul π / 180, asta înseamnă 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, ceea ce înseamnă că atunci când aplicați semnificația lui °, ajungeți la un număr diferit – un număr care corespunde numărului de radiani, deci faceți implicit conversia de la grade la radiani. Dacă scrieți doar 45, este egal cu 45 × 1 = 45 rad și nu poate însemna 45 °. Dacă nu înțelegeți unghiurile și valorile lor numerice în acest fel, nu am putea face lucruri precum derivatul sin x în ceea ce privește x este cos x ; expresia ar trebui să fie mai degrabă mai dezordonată – nedorită mai dezordonată. Prea multe contradicții și alte lucruri ciudate se întâmplă dacă încercați să acționați ca și cum unitatea unghiulară are valoarea numerică 1, astfel încât să o puteți include în mod liber sau să o evitați.
Din păcate, manualele de geometrie mai frecvent utilizate în școlile gimnaziale acționează toate leneș și îi învață pe elevi să fie leneși în mod necorespunzător – nu se deranjează să scrie unitățile de măsură atunci când sunt grade. Această eroare este corectată de obicei în manualele de algebră sau trigonometrie mai avansate, unde ° este întotdeauna scris când se intenționează gradele și când unitățile sunt lăsate oprite, atunci se intenționează întotdeauna radianii, potrivindu-se practicii standard a matematicienilor și fizicienilor profesioniști. Nu știu de ce manualele de geometrie insistă să ia o comandă rapidă inacceptabilă, contrară practicii profesionale standard, deoarece profesorii și studenții se frustrează în cursurile ulterioare atunci când trebuie să predea și să învețe, respectiv, că simbolul ° este necesar.