Cel mai bun răspuns
Datorită definițiilor lui \ sin x, \ cos x și \ tan x.
Într-un triunghi dreptunghiular cu unghi acut x, am definit rapoartele de declanșare după cum urmează:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {opposition}} {\ text {hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {opus }} {\ text {adjacent}}
De aici obținem acronimul SOH-CAH-TOA
Oricum, dacă luăm expresia pentru \ tan x și împărțim numărătorul și numitorul prin \ text {hypotenuse} obținem:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {opus} / \ text {hypotenuse}} {\ text {adjacent} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Răspuns
Să începem cu o imagine (credit: Triunghiul drept – din Wolfram MathWorld )
Ne vom concentra pe cel stâng, dar dreapta două sunt foarte importante în trigonometrie.
Voi folosi con menționăm că unghiul opus laturii a este \ alfa și unghiul opus laturii b este \ beta.
Reamintim: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Acum, să împărțim sinusul la cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Putem face același lucru cu \ beta. În general, putem face același truc cu orice triunghi dreptunghiular, deci trebuie să fie o proprietate intrinsecă a funcțiilor trigonometrice. Știm ce sunt sinusul și cosinusul din cauza modului în care le-am definit, ca acele rapoarte particulare.