Cel mai bun răspuns
Înainte de a răspunde la întrebare, îmi fac presupunerile și convențiile. Prin număr, mă refer la un număr real. Vom folosi proprietățile câmpului numerelor reale, cum ar fi distributivitatea, identitatea aditivă etc. Să definim câțiva termeni:
- a este negativ dacă a .
- -a denotă inversul aditiv al lui a.
- ab înseamnă a + (- b).
Fie a și b două numere negative. Adică
a și b .
Apoi, a \ implică a + (- a) + (- a) \ implică 0 <-a sau -a> 0.
În mod similar, putem arăta că -b> 0. Prin urmare,
(-a) (- b)> 0. (- a) \; \; \; \; … \; \; \; \; (1)
De asemenea,
0 + 0 = 0 \ implică a. (0 + 0) = a.0 \ implică a.0 + a.0 = a.0 \ implică a.0 = 0
În mod similar, (-a) .0 = 0
Prin urmare, a.0 = (- a) .0 = 0 \; … \; (2)
Din (1) și (2),
(-a). (- b)> 0 \; \; \; \; … \; \; \; (3)
Avem
(-a). (- b) + (- a) .b = (- a). (- b + b)
= (- a) .0 = 0 Din (1) și (2)
\ implică (-a). (- b) = – (- a) .b \; \; \; \; … \; \; \; \; (4)
Mai departe,
(-a) .b + ab = (- a + a) .b = 0. b = 0 \ implică ab = – (- a) .b \; \; \; \; … \; \; \; \; (5)
De la (3), (4) și (5) avem
ab = (- a) (- b)> 0.
Care trebuia dovedit.
Răspuns
De ce obțineți un număr pozitiv atunci când înmulțiți două numere negative? Știu că este adevărul, dar de ce? Poate cineva să o demonstreze?
Este într-adevăr o definiție. Când s-au inventat numere negative, adunarea și multiplicarea trebuiau definite.
O motivație se bazează pe aplicații și constatați că definițiile obișnuite sunt exact ceea ce aveți nevoie. De exemplu, un tren expres călătorește spre nord printr-o stație la 100 mph. Puteți afla cât de departe va fi la nord de stație în 5 minute (ori pozitiv pozitiv) sau unde a fost acum 5 minute (ori negativ pozitiv). Un alt tren merge spre sud, la 100 mph. Tratând distanțele spre sudul stației ca fiind negative semnele pentru viteze și distanțe sunt inversele celor pentru celălalt tren. Ar trebui să puteți vedea din acest lucru cum funcționează regulile pentru semne.
Cealaltă motivație este simplitatea (ceea ce explică parțial de ce definițiile sunt utile în aplicații). Este cel mai simplu dacă legile care funcționează pentru numerele pozitive continuă să funcționeze pentru numerele negative.
O lege este legea distributivă a (b + c) = ab + ac.
Dacă c = -b aceasta dă 0 = a (bb) = a (b + -b) = ab + a (-b).
Deci, orice valoare are, – (ab) trebuie să fie egală cu (-b).
Dacă a și b sunt pozitive, aceasta dă regula conform căreia pozitivul negativ este negativ.
Vă las ca exercițiu să vedeți ce se întâmplă dacă a este negativ în cele de mai sus. De asemenea, veți avea nevoie de legea comutativă ab = ba și o veți aplica cazurilor cu a sau b negative.