Cel mai bun răspuns
Ah! Aceasta este o observație plăcută și ceea ce ne învață este că sistemele numerice de valoare-poziție permit unor numere să aibă mai multe reprezentări cu cifre diferite.
Vă sugerez să încercați să găsiți diferența dintre cele două expresii numerice ( adică arată că există un număr între ele).
Nu poți să o faci într-adevăr așa cum este obișnuit, deoarece nu există ultimele 9 cifre pentru a începe să scazi din cea mai puțin semnificativă cifră. , Este acolo? Asta pentru că continuă pentru totdeauna.
În esență, totuși, puteți începe de la cea mai semnificativă cifră și puteți continua să „împrumutați-o” spre dreapta, mai degrabă decât să „împrumutați” din stânga.
Deci, dacă ne uităm la primele câteva cifre, avem
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
„Împrumutarea” către dreapta înseamnă luarea celor părți ale numărului superior la zece zecimi (ceea ce este!). Scăderea a nouă zecimi rămâne o zecime. Dar putem „împrumuta” asta la dreapta ca zece sutimi și scădeți nouă sutimi din aceasta și continuați la nesfârșit.
Și acest lucru continuă la nesfârșit. Nu există niciun loc în care procesul să se oprească și să lase în urmă o cifră, deoarece (într-un anumit sens) să se termine acest proces (infinit) ar lăsa în urmă doar zerouri pe măsură ce progresează „până la capăt” spre dreapta.
Există alte modalități – mai riguroase și mai elegante – de a demonstra că 0. \ dot {9} = 1.
Un alt mod de a te gândi la asta este să arunci povara zecimală b sistemul ase (baza zece) și se numără în ternar (baza trei). Ternar este sistemul în care numărăm 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ dots. Numerele din ternar nu au puncte zecimale, ci puncte ternare. În terț, avem \ frac {1} {3} = 0.1 și \ frac {2} {3} = 0.2.
Dar apoi fracția \ frac {1} {2} = 0. \ punctul {1} nu se termină! Ca să nu mai vorbim că în ternar, 0. care nu se repetă. \ Dot {2} = 1, deoarece aceasta este exact de două ori expresia anterioară (dacă schimbați partea dreaptă și stânga a egalității trebuie să fie așa).
Acesta este lucrul mare și puternic despre egalitate. Deoarece știm că în baza zece \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, atunci \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, demonstrând că același număr poate au mai multe reprezentări în același sistem numeric de valoare-loc.
Morala poveștii este să evităm să ne lăsăm prins de ceea ce numim lucruri, ci să ne concentrăm în schimb pe ceea ce sunt și ceea ce fac .
Răspuns
Da, unul împărțit la trei este posibil în câmpurile numerelor reale sau raționale și este egal cu o treime.
Este imposibil de reprezentat o treime folosind o notație pozițională zecimală finită. Dacă doriți să utilizați o reprezentare infinită , cum ar fi cea implicită de puncte în 0.333 \ dotsc, ar fi bine să aveți un mod formal de a spune ce înseamnă. Matematicienii au o astfel de specificație formală, numită limite, în care 0,999 \ dotsc = 1.
Rețineți că reprezentarea zecimală reprezentare a unui număr nu este numărul în sine. La fel cum nu sunteți numele dvs. sau porecla dvs. sau oricare dintre numeroasele dvs. ID-uri. Numerele au loturi de reprezentări, inclusiv multe baze diferite, cuvinte, expresii și așa mai departe. Reprezentanțele pentru o treime includ:
- 0.333 \ dotsc (zecimal)
- 0.1\_3 (ternar)
- \ frac13
- 20 „(minute – o treime din oră)
- 120 ° (grade – o treime din cerc)
- \ frac26
și așa mai departe.
Numărul propriu-zis o treime rămâne în sine departe de toate aceste reprezentări. Este definit de proprietatea sa de a fi unul divizat cu alte cuvinte. Cu alte cuvinte, este acel număr care dă unul atunci când este înmulțit cu trei. Toate celelalte sunt doar notații intermediare care, după cum ați observat, sunt cam stângace în zecimale.