Cel mai bun răspuns
Nu există o definiție generală a spațiului în matematică. Aproape orice obiect la care ne putem gândi vizual poate fi numit spațiu. Spațiile metrice, varietățile, spațiile Hilbert, orbifoldurile, schemele, spațiile de măsurare, spațiile de probabilitate și stive de module sunt toate lucrurile pe care le numim spații.
Cel mai apropiat de o definiție generală a spațiului este probabilitatea noțiunea de spațiul topologic. De exemplu, spațiile metrice, varietățile, spațiile Hilbert, orbifoldurile și schemele sunt toate spații topologice cu o structură puțin mai mare.
Un spațiu topologic constă dintr-un set de puncte, X și o colecție de subseturi din X pe care îl numim „deschis”, sub rezerva condițiilor care
- Setul gol și X în sine sunt deschise,
- Orice uniune de seturi deschise este deschisă,
- Și intersecția unei perechi de seturi deschise este deschisă.
Seturile deschise ar trebui să fie ca subseturile deschise ale \ mathbb {R}. Cu riscul de a fi vagi, ne gândim la seturile deschise ca acele subseturi U de X, astfel încât fiecare punct al lui U poate fi mutat puțin fără a părăsi U. Acesta este literalmente cazul pentru \ mathbb {R}, deoarece seturile deschise sunt definite ca fiind subseturile U astfel încât pentru toate x \ în U există un \ epsilon> 0 astfel încât (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subset U (adică deplasarea x cu mai puțin de \ epsilon nu va avea ca rezultat un punct în afara lui U).
Se pare că această cantitate minimă de informații – un set de puncte și o colecție de subseturi deschise – este suficientă pentru a spune dacă funcțiile sunt continue. Acest lucru face ca spațiile topologice să fie cu adevărat utile.
Pe de altă parte, nu fiecare spațiu din matematică este un spațiu topologic sau chiar, așa cum au răspuns alții, un set de puncte cu o structură suplimentară. A fost ceva ce am fost uimit să aflu acum câteva semestre.
Contraexemplul pe care îl am în minte este ideea unei stive de moduli, care (acest lucru devine ciudat!) Este un anumit tip de functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, unde imaginea preimagină a fiecărui obiect D din \ mathcal {D} este considerată colecția de funcții continue de la D la spațiul pe care ar trebui să îl reprezinte F.
Cum naiba este un spațiu? Pentru a obține o anumită intuiție, luați în considerare setul de funcții continue dintr-un spațiu format dintr-un singur punct într-un spațiu topologic, X. Pentru fiecare punct p \ în X, obținem o funcție care duce punctul unic la p. În acest sens, setul de funcții continue de la un punct la X descrie punctele lui X. Dacă luăm în considerare funcțiile din ceva mai înfocat, să spunem un segment de linie, în X începem să ne facem o idee despre modul în care punctele lui X sunt legate de reciproc – care dintre ele pot fi conectate între ele printr-o cale, care sunt apropiate și care sunt departe unul de altul și așa mai departe. Luând în considerare toate seturile de funcții posibile în X, putem deduce exact ce este X. Aceasta este o idee care poartă numele Lemă Yoneda . Ideea unei stive de moduli este de a folosi acest lucru ca metaforă: orice functor care „arată” descrie funcții într-un spațiu topologic poate fi folosit pentru a defini un „spațiu”.
Ce vreau să subliniez este aceasta: există multe tipuri de spații în matematică, dar dacă doriți să vă faceți o idee fundamentală despre ceea ce este un spațiu, ar trebui să studiați spațiile topologice. Acestea fiind spuse, lucrurile devin ciudate!
Răspuns
Spațiul în sine nu are o definiție formală. Este aproape o versiune matematică a cuvântului „lucru”. Poate că un sinonim mai apropiat este „setat”, dar cuvântul „spațiu” înseamnă că există un ingredient suplimentar … o structură … care este, de asemenea, în joc. În caz contrar, ar folosi doar cuvântul „set”.
Diverse tipuri de spații au definiții. Un spațiu vector este un set de vectori care respectă unele reguli. Un spațiu topologic este un set împreună cu o colecție specială de subseturi care îndeplinesc unele reguli. Un spațiu metric este un set împreună cu o formulă adecvată care vă arată distanța dintre punctele din set. Adesea tipurile speciale de spații au nume descriptive ca acestea.
Alte tipuri de spații sunt numite după oameni care le-au studiat. Spații Banach, spații Hilbert, spații Sobolev … toate acestea sunt tipuri speciale de spații vectoriale cu un pic de structură suplimentară asta le face interesante în felul lor și sunt numite după oameni care au fost semnificativi în dezvoltarea acelei povești.