Cel mai bun răspuns
1. Rădăcinile numerelor.
În școala primară ni s-a spus că rădăcina pătrată a unui număr este de fapt o întrebare. Ce număr înmulțit de la sine, de atâtea ori pentru a obține un număr, este rădăcina. De exemplu. rădăcină pătrată de 9 = 3, deoarece 3 × 3 = 9 a patra rădăcină de 16 = 2, din moment ce 2 × 2 × 2 × 2 = 16 și așa mai departe. Cu toate acestea, natura rădăcinilor este mai fundamentală, deoarece aplicația sa extins sistemul numeric de la rațional la real. Cu alte cuvinte, pentru a utiliza operațiunea de găsire a rădăcinilor a fost necesar să se extindă sistemul numeric astfel încât să fie închis sub operațiunea „înrădăcinării” prin introducerea numerelor iraționale. Numerele raționale sunt închise pentru +, -, ×, ÷ dar nu pentru √. De exemplu, √2 nu poate fi exprimat ca un raport. Pitagoricii știau acest lucru și se presupunea că au încercat să supărați-o, deoarece nu pătrase, ha, ha, cu viziunea lor asupra lumii.
2. Rădăcinile ecuațiilor
Natura despre care ni s-a spus a fost când curba taie Axa x. Acest lucru ar putea apărea o dată, de două ori, de trei ori, în funcție de polinom. Au fost concepute reguli pentru a le calcula pe care le-am învățat cu toții. Apoi s-a pus întrebarea. Ce se întâmplă dacă curba nu taie axa x? o rădăcină imaginară și acest lucru a avut loc atunci când b ^ 2-4ac . Acest lucru a necesitat ca o altă extensie a sistemului numeric să fie necesar. Deci a fost inventat sistemul complex de numere, pentru a include rădăcinile numerelor negative. Așadar, natura „rădăcinilor” a fost extinderea sistemului numeric dincolo de numerele raționale.
Răspuns
Îmi imaginez că vrei să spui „natural” în sensul „izomorfismului natural”. Dacă ceva este „natural” sau „canonic”, înseamnă, aproximativ, că nu este rezultatul unei alegeri arbitrare. Este determinat de contextul său, în mod natural.
Unul dintre exemplele motivante ale unui lucru „natural” este izomorfismul dintre un spațiu vectorial dimensional finit V și dublul său dual V ^ {\ vee \ vee}. Izomorfismul ia v \ in V la E\_v \ în V ^ {\ vee \ vee}, unde E\_v (\ phi) = \ phi (v) pentru \ phi \ în V ^ \ vee. Trimiteți vectorul v pe harta E\_v care evaluează vectori duali la v. Acest lucru este firesc; nu s-au făcut alegeri arbitrare, ci doar au ieșit direct din definițiile și relațiile obiectelor implicate.
Există alte izomorfisme între aceste două spații sau curs, dar acesta este „alegerea corectă”. Orice altă alegere ar fi nefirească; de exemplu, ați putea trimite v la E\_ {A (v)}, unde A: V \ la V este un automatism liniar arbitrar al lui V. Dar … de ce? Nu există niciun motiv pentru care trebuie să introduceți A, deoarece aveți alegerea naturală v \ mapsto E\_v chiar în fața dvs. Sperăm că diferența dintre izomorfismul „natural” și „nenatural” este suficient de clară.
Pe de altă parte, nu există izomorfism natural L: V \ to V ^ \ vee. Construirea unui izomorfism necesită alegeri arbitrare. Aș putea alege o bază b\_1, \ dots, b\_n și să declar L (b\_i) drept vectorul dual care ia b\_i la 1 și toți ceilalți vectori de bază la 0. Aceasta definește un izomorfism perfect fin, dar aș putea face exact același lucru lucru cu orice altă bază și obțineți un izomorfism diferit, la fel de valabil. Nu există nicio modalitate de a alege una într-un mod natural, dat de Dumnezeu *.
Aceasta este o descriere foarte aspră, informală. Poate (și este) precisă prin teoria categoriilor: funcționorii și transformările naturale oferă modalitatea corectă de a gândi la ceea ce face ceva „natural” într-un anumit context. Am făcut tot posibilul pentru a-mi transmite propria intuiție pentru concept, care cred că ar fi suficientă până când cineva este gata pentru detaliile (cate) gory.
* în ciuda teologiei / ontologiei matematicii