Cel mai bun răspuns
Putem reprezenta orice număr întreg pozitiv n în notația bazei zece ca n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, unde a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} și a\_k \ neq 0. Apoi n \ geq 10 ^ k. Suma cifrelor este a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Această inegalitate rezultă din a\_i \ leq 9. Acum este ușor să vedem că dacă k \ geq 2 atunci 18 (k + 1) 0 ^ k. Acum am rămas cu elementele n = 10a\_1 + a\_0. Acestea pot fi verificate cu ușurință cu un computer. Iată cum am făcut-o cu Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Astfel, singurul număr întreg pozitiv care este de două ori suma cifrelor sale este 18. Dacă permitem numere întregi care nu sunt negative, atunci avem și 0. Nu sunt foarte sigur cum ar trebui interpretată această întrebare pentru numerele întregi negative.
Răspuns
Numărul N este produsul primelor 100 de numere întregi pozitive. Dacă s-ar scrie toate cifrele lui N, ce cifră ar fi lângă toate zerourile de la sfârșit?
Practic, căutăm 100! și apoi vrem să aruncăm toate zero-urile la final, apoi vrem să știm care este prima cifră diferită de zero din extrema dreaptă.
O modalitate este să calculăm de fapt 100! folosind un program precum bc (calculator de banc pe Linux sau Unix) și apoi aruncă toate zero-urile pentru a ajunge la cifra necesară.
Să ne uităm la un alt mod de a rezolva problema folosind principiul divide și cuceresc.
Să aruncăm toate numerele care se termină cu 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, deoarece pe măsură ce înmulțiți, ultima cifră a multiplului anterior (produsul a ajuns până la acel moment) nu se va schimba și nu ne interesează calculând 100! fără zero oricum.
Să ne uităm la primele 9 Numere începând cu 2 și acestea sunt:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
De la stânga la dreapta, 2 * 3 vă oferă 6, 6 * 4 vă oferă 24, păstrați doar 4 și înmulțiți-l cu 5 pentru a vă da 20 (deoarece vrem să aruncați zero), acum păstrați 2 și înmulțiți-l cu 6 pentru a vă oferi 12, păstrați din nou doar 2 și înmulțiți-l cu 7 pentru a vă oferi 4 (din 14) și înmulțiți-l cu 8 pentru a vă oferi 2 (aruncând 3 din 32) și înmulțiți-l cu 9 pentru a vă oferi 8 ( eliminarea 1 din 18) și multiplicarea acestuia cu 10 vă oferă 8 (eliminarea 0 sau 80). Astfel, veți obține o singură cifră, care este 8 .
Lucrând în mod similar pe 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 îți oferă din nou 8 .
Următoarea serie 22, 23 …, 28, 29, 30 îți oferă 2.
Următoarea serie vă oferă 4
Continuând în mod similar pentru seria rămasă, veți obține 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 și respectiv 2 .
Acum, finalul sarcina este de a multiplica cifrele de mai sus la care am ajuns pentru fiecare dintre serii.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 și pe măsură ce le înmulțiți cifre și aruncați a zecea cifră de-a lungul drumului, ajungem la 4 ca ultima cifră.
Aceasta este Răspunsul final la întrebare, 4 este cifra necesară.