Cel mai bun răspuns
Ei bine, da. Nu știți cât de demnă este această dovadă, dar în geometria euclidiană, definiți linii paralele după cum urmează:
Spunem că AB \ parallel CD \ iff \ angle {FEB} = \ angle {EFC}.
Acum, presupunem contrariul – că AB și CD se întâlnesc, să zicem, într-un punct P din dreapta GH ( pentru claritate; ați putea presupune întotdeauna că P este în stânga GH). Apoi, în \ bigtriangleup {EFP}, \ angle {P} = 0 ^ o. Ceea ce ar implica faptul că AB și CD coincid (ceea ce, desigur, este neadevărat). De unde, AB și CD nu se pot întâlni.
Totuși, aceasta este doar jumătate din dovadă – unde demonstrăm că liniile paralele nu se pot întâlni. Pentru a demonstra că liniile care nu se întâlnesc sunt paralele, luați în considerare diagrama de mai jos:
Dacă AB și CD nu se întâlnesc, atunci trebuie să fie adevărat că EF = GH. De asemenea, EF \ paralel GH prin construcție, ceea ce înseamnă că \ angle {FEG} = \ angle {EGH}. De unde \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ implică \ angle {HEG} = \ angle {EGF} \ implică AB \ paralel CD.
Răspuns
Dacă un linia este paralelă cu un plan, va fi perpendiculară pe vectorul normal al planului (la fel ca orice altă linie conținută în plan sau paralelă cu planul).
(Rețineți că folosesc „perpendicular ”Aici, nu în sensul că se intersectează, neapărat, ci în sensul că vectorii lor ar fi la 90 de grade dacă ar fi plasați unul lângă altul)
Pentru a afla dacă doi vectori sunt perpendiculari, doar ia produsul lor dot. Dacă este egal cu 0, atunci acestea sunt perpendiculare.
Deci, de exemplu, dacă avem planul: 2x + 3y – 4z = 7 (vectorul normal aici ar fi <2,3, -4>)
Și vrem să aflăm dacă linia: x = 2 + t, y = 3-2t, z = 5-t, este paralelă cu aceasta, avem nevoie doar de produsul punct al vectorului liniei (<1, -2, -1>) și vectorul normal al planului.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
Deci, în acest caz, linia și planul sunt paralele.
Dacă vrem să folosim același plan, dar comparați-l cu linia: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, atunci vom obține:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14
Deci putem vedea că aceste două nu vor fi paralele.