Nejlepší odpověď
Neexistuje absolutní způsob, jak přiřadit svahy kruhům na kouli. V odkazu zadaném tazatelem se používá mapování zvané stereografická parametrizace: stereografická parametrizace mapuje rovinu na kouli, v podstatě identifikací roviny jako homeomorfní pro kouli s odstraněným jediným bodem (při použití stereografických projekcí a parametrizace je často nazývaný „bod v nekonečnu“ nebo projekční bod).
Základní vlastností tohoto mapování je to, že je konformní: to zachovává úhly, ve kterých se protínají hladké křivky. Zejména mapuje přímé čáry v rovině na geodetické oblouky na kouli.
Nyní, abychom změřili sklon čáry v rovině, musíme zvolit orientovanou čáru, proti které se bude měřit. Toto je tradičně zvoleno jako „osa x“ orientovaná doprava, protože často pracujeme s grafy vynesenými proti horizontální nezávislé ose (a můj odhad je, že orientace pochází ze směru čtení většiny západních jazyků zleva doprava). Osa, kterou vybereme, určuje, jak budou svahy měřeny.
Takže jakmile provedeme výběr osy, můžeme ji namapovat na velký kruh na kouli a potom můžeme popsat sklon kruhu stereografickým promítáním zpět do roviny a měřením jako obvykle. Musím však zdůraznit, že to není obecná funkce pojídající geodetiku a vyplivující čísla! Je to funkce, která sní dvě geodetiku A bod (takže víme, kde je původ, nebo duálně, kde je „bod v nekonečnu“) a vyplivne číslo udávající relativní sklon vzhledem k „referenčnímu rámci“.
Upravit. Od té doby, co jsem ji napsal včera, mě něco trápilo a dnes ráno klikl na důležitý bod: mnoho kruhů v kouli je mapováno na kruhy v rovině a naopak, protože konformní mapy si mohou vyměňovat čáry a kruhy (všimněte si, že obě křivky mají konstantní zakřivení). Takže sklon kruhu měřený proti jinému (orientovanému!) Kruhu s vybraným základním bodem nebude mít smysl způsobem, který popisuji, pokud nejsou oba mapovány na čáry v rovině. To platí přesně tehdy, když oba velké kruhy protínají bod v nekonečnu , a proto musíme také požadovat, aby bod, který zvolíme pro projekci, byl také průsečíkem kruhy. Pokud se podíváte na jejich diferenciály v daném bodě koule, můžete odvodit jejich relativní sklon. Pokud mě úhledný vzorec zasáhne, aktualizuji ho. Omlouvám se, že jsem nedbalý a chybí mi to!