Bedste svar
Der er ingen absolut måde at tildele skråninger til cirkler på en kugle. I linket givet af askeren anvendes en kortlægning kaldet stereografisk parameterisering: stereografisk parameterisering kortlægger et plan på en kugle, i det væsentlige ved at identificere planet som homomorft til en kugle med et enkelt punkt fjernet (når stereografiske fremskrivninger og parametreringer anvendes, kaldes ofte ”punktet ved uendelig” eller projektionspunktet.
En grundlæggende egenskab ved denne kortlægning er, at den er konform: den bevarer vinklerne, hvor glatte kurver krydser hinanden. Især kortlægger det lige linjer på planet til geodesiske buer på sfæren.
Nu skal vi for at måle hældningen på en linje i planet vælge en orienteret linje, som vi måler mod. Dette er traditionelt valgt til at være “x-aksen” orienteret mod højre, fordi vi ofte arbejder med grafer tegnet mod en vandret uafhængig akse (og jeg gætter på, at orienteringen kommer fra venstre mod højre retning af at læse de fleste vestlige sprog). Den akse, vi vælger, bestemmer, hvordan skråninger måles.
Så når vi først har valgt et akse, kan vi kortlægge dette til en stor cirkel på sfæren, og så kan vi beskrive hældningen af en cirkel ved stereografisk at projicere det tilbage til flyet og måle som normalt. Jeg må dog understrege, at dette ikke er en generel funktion, der spiser geodesik og spytter tal! Det er en funktion, der spiser to geodesik OG et punkt (så vi ved, hvor oprindelsen er eller dobbelt, hvor “punktet ved uendelig” er), og spytter et tal ud, der giver den relative hældning i forhold til en “referenceramme.”
Rediger. Noget har plaget mig med dette svar, siden jeg skrev det i går, og et vigtigt punkt blev klikket på i morges: mange cirkler på sfæren er kortlagt til cirkler på flyet og omvendt, da konforme kort kan udveksle linjer og cirkler (bemærk, at begge kurver har konstant krumning). Så en hældning af en cirkel målt mod en anden (orienteret!) Cirkel med et valgt basispunkt giver ikke mening på den måde, jeg beskriver, medmindre de begge er kortlagt til linjer på flyet. Dette gælder netop, når begge store cirkler skærer punktet ved uendelig , og derfor skal vi også kræve, at det punkt, vi vælger til projektion, også er et skæringspunkt for cirkler. Hvis du ser på deres forskelle på det tidspunkt på sfæren, kan du udlede deres relative hældning. Hvis en glat formel rammer mig, opdaterer jeg. Jeg undskylder for at være sjusket og savner dette!