Paras vastaus
Pallon ympyröille ei ole absoluuttista tapaa osoittaa kaltevuuksia. Kysyjän antamassa linkissä käytetään kartoitusta, jota kutsutaan stereografiseksi parametroinniksi: stereografinen parametrointi kartoittaa tason pallolle, olennaisesti tunnistamalla taso homeomorfiseksi pallolle, josta on poistettu yksi piste (kun käytetään stereografisia projektioita ja parametrointeja, tämä on kutsutaan usein ”pisteeksi äärettömäksi” tai projektiopisteeksi).
Tämän kartoituksen perusominaisuus on, että se on muodollinen: se säilyttää kulmat, joissa sileät käyrät leikkaavat. Erityisesti se kartoittaa suorat viivat tasossa pallon geodeettisiin kaariin.
Nyt mitataksemme tason viivan kaltevuutta meidän on valittava suunnattu viiva, jota mitataan. Tämä on perinteisesti valittu ”x-akseliksi”, joka on suunnattu oikealle, koska työskentelemme usein kuvaajien kanssa, jotka on piirretty vaakasuoraa itsenäistä akselia vastaan (ja arvaukseni on, että suunta tulee vasemmalta oikealle -suunnan lukemiseen useimpia länsimaisia kieliä). Valitsemamme akseli määrittää, miten kaltevuudet mitataan.
Joten kun olemme valinneet akselin, voimme kartoittaa tämän palloon kuuluvaan suureen ympyrään ja sitten kuvata ympyrän kaltevuutta. heijastamalla se stereografisesti takaisin tasolle ja mittaamalla normaalisti. Minun on kuitenkin korostettava, että tämä ei ole yleinen toiminto, joka syö geodeesia ja sylkee numeroita! Se on funktio, joka syö kaksi geodeettista JA pistettä (joten tiedämme, missä alkuperä on tai kahdesti, missä ”piste äärettömässä” on) ja sylkee numeron, joka antaa suhteellisen kaltevuuden ”viitekehykseen” nähden.
Muokkaa. Jotain on häirinnyt minua tällä vastauksella siitä lähtien, kun kirjoitin sen eilen, ja tärkeä asia napsautti tänä aamuna: monet pallon ympyrät kartoitetaan koneen ympyröihin ja päinvastoin, koska konformaaliset kartat voivat vaihtaa viivoja ja ympyröitä (huomaa, että molemmilla käyrillä on vakio kaarevuus). Joten ympyrän kaltevuus mitattuna toiseen (suuntautuneeseen!) Ympyrään nähden valitulla peruspisteellä ei ole järkevää kuvailemallani tavalla, elleivät ne molemmat ole kartoitettu tasossa oleviin viivoihin. Tämä pätee juuri silloin, kun molemmat suuret ympyrät leikkaavat pisteen äärettömässä , ja siksi meidän on myös vaadittava, että projektioksi valitsemamme piste on myös piireissä. Jos tarkastelet niiden eroja pallon tässä kohdassa, voit päätellä niiden suhteellisen kaltevuuden. Jos minuun osuu liukas kaava, päivitän sen. Pahoittelen huolimattomuutta ja puuttuu tämä!