Meilleure réponse
Si jessaye de brancher ceci dans ma calculatrice, jobtiendrai quelque chose en notation scientifique, parce que la réponse est trop grande pour que la calculatrice puisse lafficher. En termes pratiques, la calculatrice me montrera le début du nombre, et je ne me soucie que de la fin du nombre.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Je sais quun nombre obtient un zéro à la fin si le nombre a 10 comme facteur. Par exemple, 10 est un facteur de 50, 120 et 1234567890. Jai donc besoin de savoir comment chaque fois 10 est un facteur dans lexpansion de 200!
Mais depuis 5 × 2 = 10, je dois tenir compte de tous les produits de 5 et 2. En regardant les facteurs de lexpansion ci-dessus, il y a beaucoup plus de nombres qui sont des multiples de
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
que des multiples de
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Autrement dit, si je prends tous les nombres avec 5 comme facteur, jaurai bien plus quassez de nombres pairs à associer avec eux pour obtenir des facteurs de 10 (et un autre zéro à la fin de ma factorielle). Donc, trouver le nombre de fois 10 est un facteur, tout ce dont je dois vraiment minquiéter, cest de savoir combien de fois 5 est un facteur dans tous les nombres compris entre 1 et 200.
Daccord, combien de multiples de 5 existe-t-il dans les nombres de 1 à 200? Il « s 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, diable; faisons ceci de la manière la plus courte: 200 ÷ 5 = 40 , donc il y a quarante multiples de 5 entre 1 et 200.
Donc, sa réponse sera 40 .
Mais attendez: 25 est 5 × 5, donc chaque multiple de 25 a un facteur supplémentaire sur 5 dont je dois tenir compte. Combien de multiples de 25 sont compris entre 1 et 200?
Depuis 200 ÷ 25 = 8 , il y a huit multiples de 25 entre 1 et 200.
Et attendez une minute il y en a aussi 125 qui fait 5x5x5. Nous devons donc ajouter 1 au nombre de zéros.
Donc maintenant le nombre total de zéros est = 40 + 8 + 1, ce qui signifie 49.
Donc, en 200! il y a 49 zéros à la fin. Et ne le vérifiez pas avec la calculatrice, car la calculatrice est incapable de le faire.
Réponse
Les zéros de fin sont une séquence de 0 « s dans la représentation décimale dun nombre, après quaucun autre chiffre ne suit. Il peut être résolu de deux manières –
- Voyons comment les zéros de fin sont formés en premier lieu. Un zéro de fin est formé lorsquun multiple de 5 est multiplié par un multiple de 2. Il ne nous reste plus quà compter le nombre de 5 et de 2 dans la multiplication.
Chaque paire de 2 et 5 entraînera un zéro final. Comme nous navons que 24 5, nous ne pouvons faire que 24 paires de 2 et 5, donc le nombre de zéros de fin dans 100 factoriels est 24 .
2. Il est également possible de répondre à la question en utilisant la formule simple ci-dessous:
La formule ci-dessus nous donne le nombre exact de 5s dans n! car elle prendra en charge tous les multiples de 5 w qui sont inférieurs à n. Non seulement il prendra en charge tous les multiples de 25, 125, etc. (puissances supérieures de 5).
Astuce: Au lieu de diviser par 25, 125, etc. (puissances supérieures de 5); ce serait beaucoup plus rapide si vous divisiez par 5 récursivement.
Utilisons ceci pour résoudre quelques exemples:
Q) Quel est le nombre de zéros de fin dans 100! ?
[100/5] = 20
Nous pouvons maintenant diviser 100 par 25 ou le résultat de létape ci-dessus, soit 20 par 5.
[ 20/5] = 4. Il est inférieur à 5, donc nous nous arrêtons ici.
La réponse est – 20+ 4 = 24 (réponse directe en quelques secondes)
Q) Quel est le nombre de zéros de fin dans 200! ?
[200/5] = 40
Nous pouvons maintenant diviser 200 par 25 ou le résultat de létape ci-dessus, soit 40 par 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Il est inférieur à 5, alors nous nous arrêtons ici.
La réponse est – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Quel est le nombre de zéros de fin de 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Il est inférieur à 5, alors nous nous arrêtons ici.
La réponse est – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Si vous avez des questions, nhésitez pas à les poser dans la section commentaires.