Meilleure réponse
Puisque lellipse est un cercle écrasé, nous pourrions considérer un cercle équivalent. Ce ne serait quune approximation et non la valeur exacte du périmètre de lellipse.
Nous savons que léquation dune ellipse est:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Quand a = b = r cela devient léquation dun cercle. Je pourrais donc écrire léquation du rayon équivalent du cercle en termes de «a» et «b».
En prenant plutôt la moyenne de «a» et «b», nous obtiendrions une meilleure approximation par en prenant la racine carrée moyenne de a et b.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Par conséquent, le périmètre approximatif de lellipse serait:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Il existe de bien meilleures approximations mais je pense que cela suffirait.
Jespère que cela vous a aidé.
Réponse
Essayons si nous pouvons trouver la circonférence dune ellipse.
Une ellipse avec le demi-grand axe a et le demi-petit axe b ont léquation:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Un graphe (nous « allons devoir nous contenter de peinture ici, mon logiciel Math a besoin dun renouvellement de licence):
Afin de trouver la circonférence, nous devons exprimer une partie de cette circonférence \ text {d} s en fonction de \ text {d} x, \ text {d} y et nous espérons arriver à une expression utilisable.
Si nous supposons que nous pouvons approximer \ text {d} s par une ligne droite, nous pouvons appliquer Pythagore:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
ou
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Je suppose que nous prenons toujours \ text {d} x> 0, ou que nous nous déplaçons de gauche à à droite le long de laxe principal.
Il ne reste plus quà lannonce d ces petites contributions de longueur darc. Nous pouvons considérer x \ dans [0, a] et multiplier par 4 car notre ellipse est symétrique sur laxe x, y.
Nous avons trouvé:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Si nous trouvons une (belle) façon dexprimer:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
nous sommes en affaires.
Cependant nous avons déjà lexpression (1), qui relie y à x. Temps de calcul (3), jutiliserai la différenciation implicite:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
ou
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
ou
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Nous devons être capables décrire ceci en utilisant uniquement x. Nous utiliserons à nouveau (1):
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Remplacez (5) par (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Remplacez (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Il existe quelques options pour réécrire cette intégrale. Une option serait de définir x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z et une autre arriverait à:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Une méthode différente serait dutiliser une paramétrisation de lellipse de la forme suivante:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Et cela conduit à une intégrale elliptique du second type, qui est plus ou moins lapproche standard:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
avec
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
lexcentricité de lellipse.
En comparant les expressions (6,7) et (8), on voit que lon pourrait préférer (8) à (6, sept). La dernière expression est non seulement plus simple dans son paramètre e mais se comporte bien. Dans lexpression (6,7), nous avons toujours un problème lorsque x \ vers a, z \ vers 1.
Cependant, il ny a pas dexpression de forme fermée pour le résultat. Pour un cercle, nous avons e = 0 et (8) se réduit bien à 2 \ pi a, comme il est censé le faire. Il en va de même pour (6,7).