Meilleure réponse
Réponse initiale: Quelle est une bonne estimation de la racine cubique de 4?
La nième racine de N est une racine de x ^ nN = 0. La dérivée de x ^ nN est nx ^ {n-1}, donc étant donné une estimation initiale, x, de la racine, une estimation plus proche utilisant la méthode de Newton est
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
qui est la moyenne de ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 de ceux-ci}} \ text {et} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Cette moyenne pondérée a du sens une fois que vous vous rendez compte que x et \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} sont des estimations de la nième racine de N, quils sont «off» dans des directions opposées , et que x est une estimation n-1 fois meilleure que \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Maintenant, appliquons la méthode…
Soit N = 4. Soit x votre estimation de la racine cubique de 4. Commencez par une bonne estimation, telle que x = 2. Puis calculez
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ pour obtenir une meilleure estimation.
Dans ce cas,
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1.66666667…
Ensuite, répétez en utilisant x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ approx 1.5911111 …
Cette approximation est bonne pour environ 3 chiffres significatifs, alors faisons-le encore une fois,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ approx 1.58740969614163 …
Cest bon à environ 6 chiffres significatifs. À chaque itération, le nombre de chiffres corrects double environ.
Réponse
En fonction de vos connaissances en mathématiques, il y a 2 façons possibles-
- Utiliser des logarithmes
- Utiliser des méthodes itératives (méthode Bisection, méthode Newton-Raphson, etc.)
Logarithmes- Prendre x = 2 ^ {1/3}
Donc, log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (environ)
donc, x = antilog (0.100343) = 1.2599 (environ)
Méthodes itératives- Je vais montrer avec la méthode de bisection, vous pouvez en essayer dautres si vous le souhaitez. (Le processus est presque le même.)
Soit x = 2 ^ {1/3}
Donc, x ^ 3 – 2 = 0
Soit f (x) = x ^ 3 – 2
On choisit deux valeurs telles que lune donne f (x) <0 et lautre donne f (x)> 0
On voit que f (x) <0 pour x = 1 et f (x)> 0 pour x = 2. Donc, x1 = 1, x2 = 2
Maintenant, nous prenons la moyenne de ces valeurs comme nouveau x
Donc, new x = (1 + 2) / 2 = 1.5
f (1.5) = 1.375> 0
On voit que 1.5 et 2 donnent des valeurs> 0, donc nous rejetons 2, car il donne la valeur de f (x) plus éloignée de 0. Nous ne gardons que les valeurs de x qui donnent la valeur de f (x) plus proche de 0
Donc nous prenons x1 = 1 et x2 = 1,5
nous trouvons à nouveau x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Maintenant, nous rejeter 1 comme 1,25 donne une valeur de f (x) plus proche de 0
donc nous prenons x1 = 1,25 et x2 = 1,5
Encore une fois, nous trouvons le nouveau x comme moyenne de ces 2 valeurs, remplacez f (x) pour voir son signe, et en fonction de cela, nous prenons nos nouvelles valeurs x1 et x2.
Répétez ce processus jusquà ce que vous soyez satisfait de votre réponse (x final).
P.S. Ces processus ne donneront jamais de réponse exacte, vous devez vous arrêter sur une approximation.