Comment comprendre ∫udv = uv-∫vdu? Est-ce que je linterprète comme une règle de produit inversée


Meilleure réponse

Commençons par la règle de produit.

Exemple: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Comment en suis-je arrivé là? La règle du produit est: Quand y = uv, uv étant deux fonctions différentes multipliées ensemble – dans ce cas sinus et cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Donc, dans lexemple ci-dessus, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 ou (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

La règle du produit inverse est juste linverse, comme lintégration est linverse / lopposé de la différenciation.

Donc à partir de dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Intégrons tout! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

Différencier y devient dy / dx, donc lintégration revient à y. Par conséquent, y = ∫u dv + ∫v du

Puisque nous savons que y = uv (voir ci-dessus) uv = ∫u dv + ∫v du

Alors nous réorganisons simplement le équation en tant que telle:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

Je ne la comprends pas complètement non plus, mais cest aussi mieux que je peux pour expliquer comment dérivez-le.

Réponse

Voici une façon dy penser: ∫udv sintègre le long de laxe v. Il calcule laire sous la courbe u vers v.

∫vdu sintègre le long de laxe u. Il calcule laire à gauche de la courbe v, vers u.

Mettez les deux ensemble, et vous obtenez un carré: laire entière entre les axes u et v. La superficie totale est le produit des deux: uv. Pour résumer, vous obtenez:

∫v du + ∫u dv = uv

De là, vous pouvez facilement dériver la formule. Cest aussi facile à visualiser.

Source: Sigma MathNet

Ceci est une simplification excessive de lidée, qui est plus générale que cela, mais cest une explication courante (et parfois traitée comme une preuve informelle). Pour plus de détails, voir Expliquez-moi cette preuve sans mots dintégration par parties .

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