Meilleure réponse
A2A.
La valeur de tan40 ° ne peut pas être trouvée en utilisant la somme trigonométrique standard, formules de différence ou dangle sous-multiple. Cependant, si vous êtes à laise pour résoudre des équations cubiques, cette méthode peut vous être utile –
Nous savons,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
En remplaçant x par 40 ° dans cette équation—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
En écrivant tan40 ° comme y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° est une valeur standard et est égal à – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
En résolvant cette équation, trois valeurs sont obtenues dont la valeur positive donne tan 40 °.
Doù approximativement, tan 40 ° = 0.8394.
Réponse
Quelle est la valeur de \ tan 40 ^ o?
Nous pouvons trouver la valeur de \ tan 40 ^ o à nimporte quel niveau de précision souhaité en utilisant la série de Taylor de \ tan x.
La série de Taylor dune fonction réelle ou complexe f (x) qui est infiniment différentiable en un point réel ou complexe a est donnée par ,
f (x) = f (a) + \ frac {f « (a)} {1!} (xa) + \ frac {f » « (a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f « » « (a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Cela peut être écrit de manière compacte comme f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad où f ^ {(n)} (a) désigne le n ^ {th} dérivé de f (x) à x = a.
On peut noter que dans le cas des fonctions trigonométriques, langle devrait être exprimé en radians et non en degrés.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ right) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
En prenant x = \ frac {2 \ pi} {9} et a = \ frac {\ pi} {4}, nous avons (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
En a = \ frac {\ pi} {4}, \ tan x est infiniment différentiable.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f « (x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f » (a) = f « \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f » « (x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f « » (a) = f « » \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f « » « (x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f « » « (a) = f » « » \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ gauche (\ frac {\ pi} {36} \ droite) + \ frac {4} {2!} \ gauche (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ approx 0.83892575.
La valeur de \ tan (40 ^ o) tel que donné par Excel est 0,83909963.
On peut voir que même avec seulement 4 termes de cette série infinie, lerreur nest que de 0,0272 \\%.
Si une plus grande précision est nécessaire, nous pouvons prendre dautres termes de la série infinie.