Meilleure réponse
Oui, cest le problème de Monty Hall déguisé. «Changer» dans ce problème est juste une manière de souligner quune probabilité est différente de lautre. Dans ce problème, vous préféreriez avoir la porte que lhôte aurait pu ouvrir, mais ne la pas fait. Ici, vous préférez être le prisonnier que le directeur aurait pu nommer, mais ne l’a pas fait. Même chose.
A est faux. Il pense quil na appris que des informations sur B, et rien sur A ou C. Mais il a appris quelque chose sur C: le directeur aurait pu le nommer, mais il na pas t. À cause du tirage au sort, 50\% du temps où A aurait été gracié, le directeur aurait nommé C. Mais il aurait nommé B 100\% du temps où C aurait été gracié. Ce ratio – 50\% à 100\% – est ce qui rend maintenant deux fois plus probable que C sera pardonné.
Historique: le problème que vous avez cité était publié à lorigine dans le numéro doctobre (je pense) 1959 de Scientific American par Martin Gardner. Dans le même numéro, il sest excusé davoir obtenu la mauvaise réponse à cette question:
- M. Smith a deux enfants. Au moins lun dentre eux est un garçon. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons?
Il avait initialement dit que la réponse était 1/3. Mais la question telle que présentée est ambiguë; cela dépend de la façon dont vous avez appris quau moins un enfant était un garçon.
Si cest parce que vous avez demandé « Est-ce quau moins un garçon? », alors 1/3 est correct. Mais si cétait juste un fait aléatoire que vous aviez appris, ce qui signifie que vous auriez pu aussi apprendre «au moins une est une fille», alors la réponse est 1/2.
Et en fait, le problème des deux enfants nest quune variante du problème des trois prisonniers avec quatre prisonniers au lieu de trois, ou du problème du Monty Hall avec quatre portes. Gardner a posé les trois prisonniers afin de clarifier le fonctionnement de ces problèmes et a inclus la partie sur le tirage au sort spécifiquement pour montrer comment cest le processus par lequel vous avez obtenu les informations, et non les informations seules, qui détermine la réponse.
Réponse
Le problème des trois prisonniers peut être compris plus facilement si lon sen tient aux probabilités conditionnelles plutôt quaux probabilités postérieures.
Donc, trois prisonniers A, B, C sont condamné à mort et lun deux a été gracié sur la base dun jeu de hasard. Le prisonnier A demande au directeur d’au moins révéler le nom de l’un des autres prisonniers, qui n’a pas été gracié.
En posant cette question, A a créé deux groupes.
- Groupe I – Impliquant A seul.
- Groupe II – Impliquant B et C.
Correspondant à ces deux groupes, il y a deux événements:
- Une personne du groupe I est graciée. (A seul).
- Une personne du groupe II est graciée (B ou C).
Puisque les deux ces événements sont équiprobables, les probabilités des deux événements sont \ frac {1} {2}. Dans le deuxième groupe, les probabilités que B ou C soient choisis sont à nouveau \ frac {1} {2}.
Le directeur nomme maintenant B comme le prisonnier qui na pas été gracié.
Puisque le directeur na rien dit au sujet du prisonnier C, cela signifie que la probabilité du deuxième événement (quelquun étant gracié du groupe impliquant B et C) est toujours la même – \ frac {1} {2}.
Mais depuis que B a été éliminé, cela signifie que la probabilité que C soit gracié du Groupe II, est maintenant passée de \ frac {1} {2} à 1 !!! Cest sa chance dobtenir la grâce a doublé !!!
Par contre, par le même raisonnement, puisque le directeur na rien dit sur le prisonnier A, la probabilité du premier événement (quelquun est gracié de le premier groupe) est toujours le même – \ frac {1} {2}.
La question du prisonnier A ne donne donc aucune nouvelle information à A sur son sort. Dun autre côté, le prisonnier C (à qui A a donné cette information), sait maintenant que ses chances dobtenir la grâce ont doublé.
Cest tout ce que vous devez savoir pour comprendre lessence des Trois Prisonniers Problème. Si toutefois vous souhaitez vérifier votre intuition en utilisant la formule de Bayes. Vous pouvez le faire comme indiqué ci-dessous:
Formulation Bayes du problème des trois prisonniers
Soit A, B et C les événements correspondant aux prisonniers A, B et C en cours de libération respectivement.Et soit b lévénement où le gardien dit à A que le prisonnier B doit être exécuté, alors, en utilisant le théorème de Bayes « , la probabilité postérieure que A soit gracié, est:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
La probabilité de C être gracié, en revanche, est:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Ainsi, la probabilité a posteriori que A soit gracié reste la même que la probabilité apriori (\ frac {1} {3}), tandis que celle de C est gracié est doublée.
Vous pouvez voir leffet des probabilités conditionnelles sur les probabilités postérieures dans le terme P (b | A) (\ frac {1} {2}) et P (C | b) (1).