Meilleure réponse
Je peux comprendre que vous vouliez une réponse ici. Traditionnellement, un pli est la valeur dune chose; ergo, une augmentation dun facteur est de 100\%. Cependant, cela crée de la confusion car la plupart des gens considèrent quun intérêt double est le double de la valeur (200\%) dune chose – la définition populaire. Même le Dictionary of Mathematics de Collins définit «-fold» comme signifiant «temps», comme dans «double» équivaut à «deux fois», ce qui équivaut à double. Certains scientifiques utilisent «pli» pour être synonyme du terme mathématique « fois, « comme dans » trois fois plus grand « signifie » trois fois plus grand « . Cependant, dautres insistent sur lutilisation traditionnelle du «pli» pour décrire la valeur totale dune chose; ainsi, « 60 est un fois plus grand que 30. »
Je suis sûr que cela ne vous facilite pas la décision – la version populaire par rapport à lutilisation plus traditionnelle – mais pour éviter les erreurs dinterprétation, dans lusage quotidien, vous voudrez peut-être vous en tenir à la définition courante.
Réponse
Question intéressante. Décomposons-la.
- Pourquoi les déterminants sont-ils calculés ?
Franchement, il ny a pas une seule raison au monde pour laquelle vous devriez calculer un déterminant sauf quand il est demandé dans un test dalgèbre linéaire. Les déterminants sont utilisés dans la preuve dexistence dune solution à un ensemble déquations linéaires de la forme Ax = b dans lesquelles les déterminants jouent un rôle majeur. Règle de Cramer – Wikipédia
Ceci a conduit de nombreuses âmes égarées à la conclusion que cette règle est un bon moyen de calculer ladite solution. Ce n’est pas le cas. Laissez-moi vous expliquer pourquoi.
2. Pourquoi les déterminants sont-ils calculés de la manière dont ils sont calculés?
La première chose que vous apprenez en algèbre linéaire 101 est de développer un déterminant le long dune ligne ou dune colonne, qui peut être formulé de manière récursive comme
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
dans lequel A\_ {kj } est la sous-matrice que vous obtenez en supprimant la k-ème ligne et la j-ème colonne de A. Cest OK si votre matrice est 3 \ fois3 ou 4 \ fois 4, devient fastidieuse lorsque n = 5 et annulable pour tout n plus grand . Mais nous avons des ordinateurs, non? Daccord. Faisons cela scientifiquement et comptons les opérations. Soit T\_n le nombre dopérations pour calculer un déterminant n \ fois n de cette façon. Dans un contexte dalgèbre linéaire, «opération» est une multiplication suivie dune addition. Alors clairement
T\_n = nT\_ {n-1}
Hé! Cela ne vous dit-il pas quelque chose? Oui, cest la fonction faculté et T\_n = n !. Maintenant, si nous avions un ordinateur capable de faire 10 ^ {20} opérations par seconde, ce qui pourrait arriver si les ordinateurs quantiques devenaient opérationnels et que nous devions calculer un déterminant 100×100 par extension de ligne ou de colonne dont nous aurions besoin
100! = 9.3326E157
opérations. Et 100 \ times100 nest pas excessif, les applications industrielles atteignent souvent des millions. Maintenant, une année a 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 secondes, nous ne pouvons donc pas faire plus de 3,2E27 opérations par an, ce qui nest quune goutte dans locéan de 9.3E157. Plus précisément, nous aurions besoin de 3E130 ans et compte tenu du fait que lâge estimé de lunivers est de 13,8E9 (6E3 si vous êtes un créationniste) ans, il nous manque quelques années.
Conclusion: ce nest pas un bon moyen de calculer un déterminant.
Et pour calculer une solution par la règle de Cramer, vous devez calculer 101 déterminants. La règle de Cramer ne sapplique pas du tout! Il a une valeur théorique, pas pratique.
Cest pourquoi vous devriez utiliser une décomposition LU ( décomposition LU – Wikipedia ) pour calculer un déterminant et comme avantage supplémentaire, il vous donne également la solution à votre système Ax = b. Le nombre dopérations pour LU est \ frac13n ^ 3. Pour obtenir un déterminant à partir de là, vous multipliez tous les éléments diagonaux de U. (\ cal O (n)). Pour obtenir la solution de votre système Ax = b nécessite un autre n ^ 2 opérations. Donc tout cela nécessiterait des opérations 3.34E5 et nous serions prêts en un tour de main de 10 ^ {- 14} secondes.
Sheldon Axler a écrit un texte dalgèbre linéaire qui nutilise aucun déterminant https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
et je suis sûr quAlon Amit (« les matrices sont nulles, la règle des opérateurs ») approuverait.