Meilleure réponse
Techniquement, ce nest pas aussi log \, n = log\_ {10} \, n, pas log\_2 \ , n.
Mais si a = b, alors log \, a = log \, b, non? Donc si n = n (ce quil fait évidemment), alors log\_2 \, n = log\_2 \, n. Maintenant, comme log\_2 \, 2 = 1, nous pouvons aussi écrire log\_2 \, n \ cdot log\_2 \, 2 = log\_2 \, n, nest-ce pas?
Et comme log \, a ^ b = b \ cdot log \, a, nous voyons que log\_2 \, 2 ^ {log\_2 \, n} = log\_2 \, n. Cest une propriété bien connue des logarithmes.
À présent, la dernière étape nécessite que vous vous rendiez compte que le logarithme est une fonction monotone. C’est crucial; cela signifie que si les résultats sont les mêmes, les arguments sont également les mêmes. Cela ne fonctionnerait pas pour par exemple sinus… Mais pour les fonctions monotones, si f (x) = f (y) alors x = y. Ainsi, nous pouvons enfin déclarer que 2 ^ {log\_2 \, n} = n, QED.
Réponse
En utilisant la propriété de logs où \ log\_ {b} n ^ {m } = m \ log\_ {b} n, nous pouvons prouver la déclaration, 2 ^ {\ log\_ {2} n} = n
La preuve:
Définissons linstruction dorigine égale à y. y = 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Maintenant, nous pouvons appliquer la base de journal 2 de chaque côté. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} 2 ^ {\ log\_ {2} n}
En utilisant le propriété précédemment déclarée de log, \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n \ log\_ {2} 2
La base du journal b de b sera toujours égale à 1. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n
Par conséquent, y = n