Meilleure réponse
La façon dont vous prouvez cette identité dépend grandement de la façon dont vous pensez au sinus et au cosinus.
Si vous pensez au sinus et au cosinus comme des rapports des côtés dun triangle rectangle (comme au lycée, où ils enseignent le sinus comme opposé à lhypoténuse), alors vous obtenez un triangle rectangle avec les côtés a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (ce dernier par le triangle de Pythagore), et \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Si vous pensez au sinus et au cosinus comme les coordonnées dun point sur le cercle unité (paramétré par la longueur darc du cercle), alors par la définition du cercle unité, chaque point satisfait x ^ 2 + y ^ 2 = 1, donc le point (\ sin \ theta, \ cos \ theta) fait aussi, donc \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Le sinus et le cosinus peuvent également être définis comme solutions indépendantes de léquation différentielle f = -f, avec \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Puisquil ny a que deux solutions indépendantes à léquation , et il est facile de voir que f ^ {(n)} est une solution, ce doit être le cas où \ sin x, \ sin x, \ sin x ne peuvent pas être des solutions indépendantes. En fait, \ sin x = – \ sin x, donc \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, donc \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . À partir de là, nous pouvons implicitement différencier \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x pour obtenir 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Ainsi, la valeur de \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x est une constante, et évaluée à 0, nous obtenons \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, donc \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Le sinus et le cosinus peuvent également être définis par la série de puissances \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Un développement soigneux de ces séries de puissances dans lexpression \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x montrera tous les termes impliquant x ^ n cancel, en ne laissant que le terme constant 1 comme valeur.
Réponse
Pour y réfléchir, nous devons considérer quels sont les rapports trigonométriques. Nous savons que le rapport sinusoïdal est égal à langle opposé à un côté sur lhypoténuse dun angle, ou o / h. On sait également que le rapport cosinus est égal au côté adjacent à un angle sur lhypoténuse, ou a / h. Ensuite, nous voyons que ces deux rapports sont au carré ce qui signifie que lidentité trigonométrique, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, est équivalente à (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, qui est égal à o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Puisque nous avons un dénominateur commun, nous pouvons combiner ces deux équations pour obtenir, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Nous pouvons alors regarder cela et réaliser que nous définissons tous les côtés dun triangle. Nous savons par le théorème de Pythagore que, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Nous pouvons voir que puisque chacune de ces valeurs de o, a et h sont toutes les différents côtés dun triangle, quelles sont égales à a, b et c. La valeur de c dans le théorème de Pythagore est lhypoténuse dun triangle rectangle, nous savons donc que h = c. Cela signifie que a et b sont égaux à o et a. Peu importe quelle lettre est attribuée à quelle lettre car les résultats ne changeront pas. Nous pouvons alors voir quà travers le théorème de Pythagore, nous savons que a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, conduisant à o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Cela signifie que nous pouvons remplacer le numérateur de notre équation précédente, la rendant équivalente à (h ^ 2) / (h ^ 2). Enfin, nous savons que toute variable divisée par elle-même est égale à 1, donc cette équation est égale à 1. Si nous revenons à léquation dorigine, nous avons prouvé que sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.