Meilleure réponse
Pour le prouver, utilisez la formule de soustraction sinusoïdale.
ie, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Ici a = π et b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Doù prouvé
Réponse
Preuve 1:
Le moyen le plus simple de prouver
cos (π / 2 – x) = sin x
consiste à mettre A = π / 2, B = x dans la formule trigonométrique
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
et obtenez
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
En remplaçant cos π / 2 = 0 et sin π / 2 = 1 dans (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (prouvé)
Preuve 2:
Soit ABC un triangle rectangle en B. Soit AB la base et AC lhypoténuse. Si nous notons langle C par x, langle de base A = (π / 2 – x) de sorte que A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π ou 180 °.
Maintenant, pour langle de base A, BC est la perpendiculaire.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = base / hypoténuse = AB / AC ………… .. (3 )
Pour langle C, AB est la perpendiculaire et donc
sin C = sin x = perpendiculaire / hypoténuse = AB / AC ……………. (4)
Équivalant (3) et (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Prouvé)
Preuve 3:
Utilisez la formule dEuler
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
qui définit le symbole eⁱᶿ pour toute valeur réelle de θ. Ici i = √-1.
∴ On peut mettre θ = (π / 2 – x) dans la formule et écrire
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Ou, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Maintenant e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i et e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Ou, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Puisque i² = -1]
En faisant correspondre les parties réelle et imaginaire,
cos (π / 2 – x) = sin x (Prouvé)
et cos x = sin (π / 2 – x)
Remarques finales:
Parmi les trois méthodes présentées ici pour prouver lassertion donnée, la méthode préférée devrait être la preuve 1. Cest parce quelle est simple, directe et rapide. Peut être fait mentalement par un élève moyen en 30 secondes environ. Dans la preuve 2, il y a place à la confusion quant à savoir quelle est la base, quelle est la bonne perpendiculaire à prendre. En outre, il faut passer plus de temps pour dessiner un triangle, marquer les côtés, les angles, etc. La preuve 3 est bonne; mais peu dentre eux sont à laise ou capables de travailler avec des fonctions complexes. La méthode implique plus dalgèbre que les autres méthodes; mais cela donne un bonus, à savoir: cela prouve la formule cos x = sin (π / 2 – x).