Meilleure réponse
Lexpression dans le posté question nest pas tout à fait correcte.
Le théorème binomial
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
vaut pour tous les nombres complexes x et y et des entiers non négatifs n .
Soit x = 1 et y = -1. Ensuite, sur le côté droit, vous aurez les différences alternées souhaitées et les sommes de combinaisons (ce que vous avez appelé choisissez s). Sur le côté gauche, vous avez 0 ^ n, que vous supposez apparemment être 0. Cependant, le théorème binomial, comme indiqué ci-dessus, sapplique à tous les entiers non négatifs n , qui comprend 0, auquel cas le côté gauche est 0 ^ 0 = 1 – un cas que vous navez pas autorisé.
Au cas où vous ne me croyez pas, essayez cet exercice trivial: écrivez les premières lignes du triangle de Pascal. La formule «choisir» dans la question posée équivaut à choisir nimporte quelle ligne et, en commençant par lélément le plus à gauche (qui est toujours 1, quelle que soit la ligne que vous choisissez), soustraire lélément suivant à droite et continuer à ajouter et soustraire en alternance tous les éléments de cette ligne. Notez quavec la ligne contenant 1 1 et la ligne contenant 1 2 1 et la ligne contenant 1 3 3 1 donnent tous 0 avec ce processus. Que se passe-t-il, cependant, sur la rangée du haut qui ne contient que 1? Nous commençons avec ce 1 et nous préparons à soustraire lélément suivant, mais il ny a pas délément suivant, nous en avons donc déjà terminé avec un résultat de 1, pas de 0. Il nest pas du tout nécessaire dexclure la ligne du haut du concept que les différences alternées et somme donne 0 ^ n pour toutes les lignes.
Si vous faites partie de ceux qui ont un blocage concernant 0 ^ 0 = 1, vous devez vraiment surmonter ce blocage, au moins dans le contexte dexposants entiers. Si vous considérez 0 ^ 0 comme indéfini, vous jetez tout aussi bien le théorème binomial et la preuve ci-dessus, car vous ne pouvez pas utiliser le théorème binomial pour évaluer (0 + y) ^ {n} et (x + 0) ^ { n}, quelle que soit la valeur de n , car le dernier terme de lexpansion binomiale pour la première puissance et le premier terme de lexpansion binomiale pour la seconde puissance les deux impliquent 0 ^ 0, vous devrez donc appeler cette somme indéfinie et ajouter lexclusion par ailleurs totalement inutile et idiote que le théorème binomial ne sapplique pas pour x = 0 et pour y = 0. Vous violeriez également la règle du produit vide, qui indique que le produit sans facteur doit être lélément didentité multiplicatif , 1. La relation 0! = 1 est également important pour le théorème binomial, ainsi que pour de nombreux autres endroits – mais avec 0! on ne multiplie aucun facteur à partir de 1, donc cest un produit vide, et cest finalement la règle du produit vide qui nous dit que 0! = 1. Cette même règle de produit vide nous indique que x ^ 0 = 1 pour tous les nombres complexes x , et la valeur de x ne concerne pas la règle de produit vide, donc oui, x = 0 sapplique aussi bien que toute autre valeur de x – aucun cas dexception nest justifié de quelque manière que ce soit.
Il y a de nombreuses autres raisons pour considérer 0 ^ 0 = 1 au moins dans le contexte des exposants entiers: la définition de formule des polynômes et des séries de puissance en utilisant la notation ∑ et la manipulation de tels polynômes et séries de puissance, divers problèmes de combinatoire, etc. Il ny a aucune raison valable de considérer que 0 ^ 0 a une valeur autre que 1 ou de le considérer comme indéfini, au moins dans le contexte des exposants entiers.
Certains dentre vous pourraient être un peu affligés Jécris tel parce que cela viole tout ce que lon vous a appris – peut-être tellement de détresse que vous avez même du mal à envisager la validité possible de ce que jai écrit, et vous êtes sur le point décrire un commentaire pour me dire où je me trompe. Pour vous empêcher davoir lair idiot avec des commentaires erronés, je vais aller de lavant et répondre à ce que jattends:
- «Mon manuel et mon professeur ont dit que 0 ^ 0 nest pas défini, et ils pourraient ne vous trompez pas. Je déteste avoir à vous le dire et faire éclater votre bulle concernant vos enseignants et vos manuels, mais il y a de nombreux sujets dans les manuels de mathématiques du secondaire (et autres matières) qui sont trop simplifiés au point dêtre incorrects. Mes commentaires ici ne sont pas destinés à dénigrer les professeurs de mathématiques du secondaire – ils ont une tâche difficile et la plupart veulent vraiment faire un excellent travail et aider les élèves à progresser.La plupart des professeurs de mathématiques du secondaire nont pas obtenu de majeure en mathématiques dans leurs études universitaires – la plupart avec une spécialisation en éducation avec une spécialisation en mathématiques. Ils apprennent comment différents élèves pensent, comment expliquer différents points de diverses manières, comment trouver et diagnostiquer les problèmes que les élèves rencontrent avec le matériel et dautres choses très précieuses qui ne sont pas directement liées aux mathématiques. Ils passent du temps dans des salles de classe simulées, ainsi que dans de vraies salles de classe sous lœil directeur de lenseignant lui-même, afin de sentraîner. Ils obtiennent un examen approfondi des mathématiques quils prévoient denseigner, cest-à-dire au niveau secondaire. Ils suivront quelques cours de mathématiques de niveau universitaire dans leur programme, mais ils seront loin dêtre aussi nombreux ou aussi avancés que ce que prendrait une majeure en mathématiques. Les majors en mathématiques ne font rien de tout cela, mais dans leurs cours plus avancés, ils sont plus exposés à ce que font les mathématiciens réels, en direct et professionnels, et la plupart des professeurs de mathématiques ne bénéficient pas de cette exposition – ils ne réalisent pas comment les mathématiciens définissent réellement des choses comme les nombres naturels et des nombres entiers, une exposition limitée aux mathématiciens utilisant des radians au lieu de degrés pour les mesures angulaires (et labsence de symbole dunité pour les angles implique des radians, pas des degrés), ne pas les faire tremper dans ce que les mathématiciens professionnels considèrent comme lordre approprié des opérations (et, non , ce nest pas PEMDAS, BODMAS,…), etc. Vos professeurs de mathématiques enseignent ce que le livre dit denseigner et ils ne se rendent pas compte quils vous enseignent des choses qui sont contraires à ce que font les mathématiciens professionnels.
- Lois de division des exposants: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, qui nest pas défini, donc 0 ^ 0 doit être indéfini car ils sont égaux. Une étape invalide a été effectuée au deuxième =. Une des lois de division des exposants est b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, mais elle a quelques restrictions pour être utilisée. Lune delles est que lapplication de la loi ne doit à aucun moment générer une expression impliquant une réciproque de 0 ou une division par 0. Par conséquent, lutilisation de cette loi est interdite lorsque b = 0, car cela génère des absurdités – et cest le non-sens que vous voulez utiliser pour «prouver» votre point. Désolé, mais pour prouver un point, vous ne pouvez pas utiliser quelque chose qui est tellement absurde quil est invalide. Des étapes non valides constituent une preuve ratée. Également, écrire des choses comme a = b = c où c nest pas défini nest pas valide— a et b peut être valide ou non. Les équations ne doivent pas être utilisées lorsquau moins un des côtés est indéfini ou autrement invalide. Il vous est interdit de conclure même que 1/0 = 1/0, parce que les deux côtés sont indéfinis, donc vous ne pouvez pas dire quils sont égaux – comment pourriez-vous savoir que deux choses sont égales alors que vous navez même aucune idée de ce que ces deux choses signifie (et vous ne pouvez avoir aucune idée car ils nont pas de définition).
- « 0 ^ 0 est une forme indéterminée, donc elle ne peut pas avoir de valeur – mon manuel de calcul le dit. » Le concept de formes indéterminées est très réel et utile tant que vous le gardez dans le contexte prévu. Les formes indéterminées sappliquent uniquement dans le contexte des limites – vous ne pouvez pas regarder cette forme et déterminer si une limite existe et, si cest le cas, quelle est cette valeur limite. Lécriture 0 ^ 0 fait référence à la valeur de f (x, y) = x ^ y at (x, y) = (0, 0) – pas quelle est la limite lorsque x et y approchent 0 indépendamment. Une limite peut exister mais la fonction ny est pas définie; une fonction peut y être définie mais la limite nexiste pas. Les deux concepts nont rien à voir lun avec lautre, sauf lorsque lun ou les deux (valeur de définition et valeur limite) échouent, la fonction nest pas continue à ce stade. Dire quune limite prend la forme 0 ^ 0 signifie que vous ne pouvez pas dire à partir de cette seule information si la limite existe et quelle est sa valeur. Ce fait na rien à voir avec le fait que 0 ^ 0 = 1 ou est indéfini. Dire 0 ^ 0 = 1 ne signifie pas quune limite prenant la forme 0 ^ 0 doit avoir la valeur 1.
- 0 ^ y = 0 pour tout y et x ^ 0 = 1 pour tout x différent de zéro. (De nombreuses personnes utilisant cet argument oublient que y ne doit pas être négatif et traitent les deux cas comme symétriques.) Si vous remplacez 0 par les deux x et y , dans un cas 0 ^ 0 = 0 et dans lautre cas 0 ^ 0 = 1 – une contradiction , donc il ne peut pas être défini. Voyons voir. Il y a deux nombres dont le carré est 9: +3 et −3; ainsi, la racine carrée de 9 est +3 mais la racine carrée de 9 est -3. Oh, nous avons une contradiction, donc il ne doit pas y avoir de racine carrée de 9 – elle doit être indéfinie.Non, +3 est une réponse plus utile que −3, nous définissons donc √9 = 3. Le fait que x ^ 0 = 1 non seulement pour tous les réels non nuls x mais aussi pour tous les complexes non nuls x et même tous les quaternions non nuls x ; par contre, 0 ^ y ne fonctionne de manière directe que pour les réels positifs x – pas de réels négatifs, pas dimaginaires, donc cela na pas plus de sens de aller avec la définition qui na quun seul trou au lieu de considérer sérieusement une option qui a un nombre incalculable de trous ? Le résultat de 1 est de loin, beaucoup plus utile que 0 pour 0 ^ 0. Si nous sommes prêts à appeler la racine carrée de 9 comme étant +3 quand il y a beaucoup moins de raisons de préférence, combien plus encore dappeler 0 ^ 0 = 1, quand il y a de très fortes raisons de préférence. La règle du produit vide impose le choix de 1 et non de 0. De nombreuses applications pratiques trouvent que 1 est un résultat extrêmement utile, alors que 0 ou indéfini serait des résultats problématiques. Aucune application significative na de résultat utile, nous choisissons donc 1.
Réponse
\ text {Selon le théorème binomial}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Remplacement de a = 1 et x par – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implique 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ Displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}