Meilleure réponse
Jutiliserais lidentité \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, ou
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Donc \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Maintenant, utilisez lidentité \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, ou
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
On obtient donc
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Réponse
Cet exercice suggère dutiliser des formules de demi-angle pour produire de nouvelles expressions de degré inférieur. Il est difficile de voir cela sans contexte, alors notez que ces problèmes peuvent toujours être résolus avec des formules demi-angle.
Ainsi, nous pouvons diviser lexpression originale en le produit de deux (sin x) ^ 2 termes et continuer à utiliser la deuxième formule de limage que jai jointe.
Multipliez et développez pour obtenir
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Oh non! On dirait que nous navons pas fini! Eh bien pas de soucis, jetez un œil à la première formule de ma photo ci-jointe et remplacez le terme au carré par lexpression. Notez que nous commençons par un 2x et devons le doubler à 4x au lieu dexactement ce qui est écrit dans la formule. Ainsi, remplacez et donnez:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Ensuite, obtenez un dénominateur commun et déplacez-le avec le 1 / 4, ce qui donne un 1/8 à lextérieur.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Combinez les mêmes termes pour notre réponse finale
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Excellente question!