Meilleure réponse
Comment résoudre tan theta = -2?
Eh bien, pour cela, nous commençons par utiliser la fonction arctan , qui est linverse de la tangente et trouve une valeur \ theta telle que \ tan (\ theta) = -2.
Nous pouvons calculer la valeur, mais cest un complexe «procédure impliquant des nombres« imaginaires ». Cela semble poser beaucoup de problèmes, donc utiliser un ensemble de tableaux serait plus facile, même si peut-être un peu moins précis. Bien que j’ai un ancien décor dans le loft de mes parents, cela ne m’est pas utile pour le moment, alors recherchons sur Internet des tableaux. Attendez, si jai accès à Internet, pourquoi ne pas voir si Internet peut faire le calcul à ma place?
Eh bien, ces approximations sont probablement plus précises dont nous avons besoin, mais nous allons nous en tenir à elles pour le moment.
Peut-être que vous naimez pas lidée des angles négatifs? Ne vous inquiétez pas, il est facile de les convertir en angles positifs en ajoutant 2π radians / 360 °.
Nous avons donc 5.17603659 radians / 296.5650512 °
Mais, nous navons pas fini !
La fonction arctan renvoie uniquement les angles dans la plage exclusive (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), cest-à-dire (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Alors, y a-t-il dautres angles dont la valeur de tangente est -2?
Premièrement, le tangente donne une valeur négative lorsque langle est dans les deuxième et quatrième quadrants, à savoir lorsque les angles sont dans les plages exclusives (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) et (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Nous avons déjà la solution dans le quatrième quadrant, alors quelle est la solution dans le deuxième quadrant? Cest à lest, il suffit de prendre π radians / 180 ° de la solution dans le quatrième quadrant.
Pourquoi? Eh bien, à partir de la formule dangle composé pour la fonction tangente , nous avons:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – comme \ tan (\ pi) = 0
Ceci nous donne notre deuxième solution, 2.03444393 radians / 116.5650512 °
Deuxièmement, la fonction tangente est périodique, avec une période de 2π radians / 360 °; cela signifie que lajout dun multiple de 2π radians / 360 ° à notre angle renverra la même valeur de tangente .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – comme \ tan (2 \ pi) = 0
Ainsi, en utilisant k pour représenter nimporte quel entier, notre ensemble de solutions complet est:
(2.03444393 + k \ pi) \ radians ou (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Réponse
Rappelez-vous que sec (theta) = 1 / (cos (theta). Ensuite, vous avez
Cos ( thêta) + 1 / (cos (thêta) = 3, qui est une équation quadratique en cos (thêta). Les deux racines de cette équation sont (3 + – sqrt (5)) / 2 qui sont en fait 1 + – phi, où phi est le fameux «Golden Ratio» et sont les racines du quadratique x ^ 2 – x – 1.
Puisque phi est une racine, diviser cette équation par phi ^ 2 montre que lautre racine est -1 / phi. Et puisque phi + 1 = phi ^ 2, nous avons que les racines de votre équation dorigine sont phi ^ 2 et 1 / phi ^ 2. Puisque le cosinus doit être 1, nous devons utiliser la racine la plus petite .
Considérons maintenant lancienne série de Fibonacci 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 dans laquelle le (n + 1) ème terme est la somme des nième et (n -1) ème termes. Il savère que phi et sa racine conjuguée sont étroitement liés à cette série. Voici comment cela sapplique:
Si le nième terme de Fibonacci est F (n), alors phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (La preuve est une récurrence sur n, en utilisant la définition de Fibonacci F (n + 1) = F (n) + F (n-1) dans la dernière étape.) Vous voulez montrer alors que phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. Les 6ème et 7ème F sont 5 et 8. Vous avez donc évalué
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – carré (5)) / 2). Si vous multipliez cela et rationalisez le deuxième terme, vous obtenez 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED