Meilleure réponse
Voici comment japproche de trouver une solution approximative:
La valeur de x doit être dans lintervalle [-1,1] comme en dehors de cet intervalle x ^ 2> 1 qui est en dehors de lintervalle de \ sin {x}. Il peut être contraint à lintervalle [0,1] comme lorsque -1 \ le x , \ sin {x} 0. Dans lintervalle [0,1], une solution triviale existe pour x = 0.
Pour x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } alors que x ^ 2 \ sin {x}, il doit exister au moins une solution dans lintervalle (0,1]. De plus, sur cet intervalle \ sin {x} a une dérivée seconde négative, alors que x ^ 2 a une dérivée seconde positive, il y a donc au plus une solution dans lintervalle (0,1]. Une fois que la courbe de x ^ 2 dépasse celle de \ sin {x}, elle ne peut plus reculer.
Il y a donc exactement une solution dans (0,1]. Pour estimer cette solution, utilisez les deux premiers termes de la série de Taylor pour la fonction sinus pour obtenir x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Cela se réduit à x ^ 2 + 6x-6 = 0 ou x = \ sqrt {15} -3 comme solution approximative. À six décimales, \ sqrt {15} -3 \ approx 0.872983.
Par comparaison, une approximation numérique donne la solution à six décimales comme x = 0,876726. Donc, notre approximation utilisant seulement deux termes de la série de Taylor était assez proche, mais pas parfaite.
Réponse
Pour une question comme celle-ci, il est généralement judicieux de représenter graphiquement les fonctions pour avoir une idée de leur comportement. ume vous voulez des réponses en nombres réels.
Nous pouvons ajouter 2x aux deux côtés, puis diviser par 2 pour obtenir x = 1,3 \ sin (x). La fonction sinus est bornée entre -1 et 1, nous navons donc à nous préoccuper que des valeurs de x comprises entre -1,3 et 1,3. Le graphique y = x est juste une ligne droite. Le graphe y = 1,3 \ sin (x) est incliné vers le haut entre -1,3 et 1,3, car 1,3 est inférieur à un angle droit, et le sinus augmente de – \ pi / 2 à \ pi / 2.
Si vous connaissez quelques calculs, vous savez que la vitesse à laquelle 1,3 \ sin (x) augmente est donnée par 1,3 \ cos (x). Ce taux de changement augmente puis diminue à nouveau (ce que lon appelle un point dinflexion). Le graphique de y = 1,3 \ sin (x) est concave de -1,3 à 0 puis concave de 0 à 1,3. Il est relativement facile de repérer que x = 0 est une solution. Parce que la pente de y = 1,3 \ sin (x) est supérieure à la pente de y = x à ce point, elle passe de bas en haut. Maintenant, à ce stade, jai décidé que je devrais trouver la valeur de 1.3 \ sin (1.3). Rappelez-vous bien sûr que la fonction sinus sapplique aux angles donnés en radians. Il est inférieur à 1,3.
À ce stade, vous pouvez déduire la nature de la situation. Les deux fonctions se croisent trois fois de -1,3 à 1,3. Appelez la solution positive c. En raison de la symétrie (1,3 \ sin (-c) = – 1,3 \ sin (c) = 2 (-c)), la solution négative est -c. La concavité de 1.3 \ sin (x) empêche quil ny ait dautres solutions. Il ne reste donc plus quà comprendre ce que c est.
Ce que certains élèves trouvent étrange, cest quil ny a souvent pas de «forme fermée» pour la solution dune équation comme celle-ci. Nous pouvons dire quil existe une solution entre 0 et 1,3 mais je pense que dans ce cas, nous navons pas de formule pour cela en termes de fonctions familières. Donc, si vous voulez vous en occuper, vous devez décider de ce que vous devez savoir à ce sujet.
Si vous voulez le calculer avec une certaine précision, il existe quelques méthodes. Il existe une approche naïve qui fonctionne dans ce cas. Si vous prenez une valeur de x entre 0 et 1,3, si elle est inférieure à la solution alors 1,3 \ sin (x) est plus grande, et si elle est supérieure à la solution, alors 1,3 \ sin (x) est inférieure. Donc, si vous continuez à remplacer votre valeur de x par 1,3 \ sin (x), il sapproche de la racine. Alors disons que je commence par x = 1.0. Alors 1,3 \ sin (1) = 1,9039 … alors utilisez cela comme valeur de x suivant. Ce processus converge vers la solution, mais pas très rapidement car chaque étape ne fait que rapprocher la valeur un peu plus de la solution.
Une deuxième méthode consiste à subdiviser lintervalle. Nous pourrions donc essayer dévaluer 1.3 \ sin (1.1) et 1.3 \ sin (1.2) pour obtenir la première décimale de la solution. Puisque 1.3 \ sin (1.1) 1.2, il semble que la racine se situe entre 1,1 et 1,2. Ensuite, nous pouvons essayer 1.3 \ sin (1.15) pour voir si la solution est inférieure ou supérieure à 1.15. Cette méthode ne converge pas non plus si rapidement, même si elle fonctionne bien dans certaines situations où la première méthode ne le fait pas.
Il existe dautres méthodes ( Root- algorithme de recherche – Wikipedia ) en particulier la méthode sécante et la méthode de Newton. Elles convergent plus rapidement.
La méthode sécante garde deux approximations de chaque côté, par exemple 1.1 et 1.2. Ensuite, nous prétendons que les graphiques sont tous deux des lignes droites pour obtenir une solution approximative. Le calcul nest pas aussi simple, mais pas vraiment impliqué.
Litération de Newton consiste à tracer une ligne tangente à la courbe pour se rapprocher de lendroit où les deux courbes se croisent, puis à répéter. Si vous commencez avec une valeur suffisamment proche de la racine, elle converge généralement assez rapidement.Le nombre de chiffres de précision double généralement à chaque pas (bien quil semble peu probable que quiconque veuille beaucoup de chiffres de précision à la racine).