Meilleure réponse
Il y a deux façons de savoir si une matrice (et donc le système déquations que la matrice représente ) a une solution unique ou non.
a. Méthode de Cramer.
Convertissez le système déquation sous la forme Matrice AX = B où A = matrice des coefficients, X = matrice des variables et B = matrice des résultats.
Nommez la matrice des coefficients D. Pour une matrice 3 x 3, remplacez les 1ère, 2ème et 3ème colonnes de la matrice D par les résultats Matrice de colonnes pour obtenir les matrices Dx, Dy et Dz.
- Si D nest pas égal à 0, et si au moins lun de Dx, Dy et Dz nest pas égal à 0, alors le système déquations est cohérent et a une solution unique.
- Si D = 0 et si Dx, Dy et Dz = 0 mais si au moins lun des constituants de la matrice co-efficace (aij) ou au moins lun des 2 x 2 mineurs nest pas égal à 0, alors le système déquations est cohérent et a une infinité de solutions.
- Si D = 0 et au moins lun de Dx, Dy et Dz nest pas nul, alors le système déquations est incohérent (pas de solution).
Ainsi, le système déquations ne donne une solution unique que lorsque la valeur du déterminant nest pas égal à zéro.
b. Méthode de classement
Écrivez le système déquations au format matriciel AX = B où A = matrice des co-efficients, X = matrice des variables et B = matrice des résultats.
Découvrez le rang de la matrice A.
Notez la matrice augmentée [A, B]
Découvrez le rang de la matrice augmentée [A, B]
- 1. Si le rang de la matrice A nest pas égal au rang de la matrice augmentée, alors le système déquations est incohérent et na pas de solution.
- Si le rang des deux matrices est égal et égal au nombre de variables inconnues dans le système et si la matrice A nest pas singulière, alors le système déquations est cohérent et a une solution unique.
- Si le rang des deux matrices est égal mais si le rang est inférieur à le nombre dinconnues, alors le système déquations est cohérent et a une infinité de solutions. Il ny a donc que trois possibilités: incohérente et sans solution, cohérente avec une solution unique, cohérente avec un nombre infini de solutions.
une solution unique uniquement lorsque le rang de la matrice des coefficients = rang de la matrice augmentée = nombre dinconnues.
Réponse
La théorie vous dit que Ax = b a une solution unique si \ det (A) \ neq0 et sinon il na pas de solution ou une infinité de solutions. La matrice est appelée singulier dans ce cas
La pratique, cependant, vous dit que cela narrive presque jamais. Donc, chaque ensemble déquations peut être résolu? Oui et non. Si la matrice est presque singulière, vous pouvez obtenir une solution, mais elle n’aura pas de sens. La raison en est que de petites fluctuations du côté droit peuvent provoquer dénormes fluctuations (de plusieurs ordres de grandeur) dans la solution. Le système est appelé mal conditionné dans ce cas. Cest une mauvaise chose, car au cours des calculs, vous risquez de perdre des chiffres significatifs en raison de la soustraction de quantités presque égales.
Comment le savoir? Le numéro de condition \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | est la mesure théorique. La meilleure valeur est 1, la plus grande est la pire. Mais ce nest pas si facile à calculer. Une manière pratique de procéder est de prendre une petite perturbation aléatoire de votre côté droit et de comparer les deux solutions. Si elles diffèrent de manière significative, vous avez un système mal conditionné.