Meilleure réponse
Un nombre complexe est un nombre en deux parties. Il a une partie réelle et une partie imaginaire. Nous avons tendance à lécrire sous la forme
a + bi, où i est la racine carrée de moins un, cest-à-dire (-1) ^ (1/2)
Pendant ce temps , le carré dun nombre est le nombre de fois lui-même. Cela signifie que
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Nous avons rencontré quelque chose de similaire lorsque nous avons considéré les facteurs déquations quadratiques. Il existe une approche systématique pour étendre le produit de deux facteurs en deux parties. Vous avez peut-être rencontré lacronyme «FOIL»:
- Multipliez les deux F premiers termes
- Multipliez les deux O termes uter
- Multipliez les deux termes I nner
- Multipliez les deux termes L ast
Additionnez les quatre termes de la réponse
Appliquez la même approche FOIL , avec (a + bi) * (a + bi), en obtenant
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Nous pouvons nous réorganiser un peu. Les deux termes du milieu sont identiques, nous pouvons donc les lister une fois, mais multipliés par deux.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Et maintenant, nous allons Regardez ce dernier terme et réalisez que le carré dun produit peut être écrit comme le produit des carrés séparés. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Appliquons cette règle:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Mais «i» est la racine carrée de -1. Le carré de la racine carrée dun nombre est le nombre lui-même. Donc (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Branchez-le.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Ce dernier terme est toujours moche. Nous pouvons commuter le «temps négatif un) de lautre côté, et réécrire le terme entier comme une soustraction.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Mais en regardant le expression, nous ne suivons pas le format dune partie réelle suivie dune partie imaginaire. Nous avons une partie réelle, une partie imaginaire et une autre partie réelle. Regroupons les parties réelles ensemble.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Réponse
Tout dabord, pensez à un nombre complexe, a + bi comme une paire ordonnée (a, b ). Dans le PLAN COMPLEXE avec un AXE RÉEL horizontal où se trouve normalement laxe des x et un AXE IMAGINAIRE vertical où se trouve normalement laxe des y, vous tracez le point (a, b) de la manière normale. Maintenant, la distance de lorigine au point (a, b), je pense, sappelle le MODULE du nombre complexe, appelons cela r.
Nous savons que r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) par le théorème PYTHAGOREEN. (Désolé pour la notation mais je suis limité avec ça.)
Aussi, langle entre laxe réel positif et la ligne de lorigine à (a, b) nous appellerons Theta (utilisons T pour cela). (On lappelle lARGUMENT du nombre complexe)
Maintenant. Le nombre complexe a + bi peut être écrit en forme polaire comme
a + bi = r (Cos T + iSin T) puisque
a = r CosT et. b = r Sin T
Prendre la racine carrée de a + bi, utilisez la forme polaire.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Donc, pour faire ceci simple, il suffit de regarder le graphique du nombre complexe a + bi, avec une ligne de lorigine à (a, b). Maintenant, faites pivoter la ligne à mi-chemin de laxe x, et raccourcissez-la à la racine carrée tant quelle était. La coordonnée de cette extrémité est la racine carrée du nombre complexe. Le oth La racine carrée nest quà 180 degrés de là.
Pour le prouver, prenons la racine carrée de Z = -4
Le graphique est un point sur laxe réel négatif , 4 unités à gauche de lorigine. Langle T = 180 degrés.
pour prendre la racine carrée de -4, il suffit de faire pivoter la ligne à 90 degrés (la moitié de 180) et de réduire sa longueur à 2 la racine carrée de 4. Nous enroulons 2 unités sur laxe imaginaire. Donc, une racine carrée de -4 est 2i. Et lautre racine carrée est -2i, à 180 degrés.
En symboles:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
et 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Pour obtenir la racine carrée de (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radical 2 sur 2 + (i) radical 2 sur 2.