Meilleure réponse
Après avoir consulté les autres réponses déjà publiées, je ne suis pas du tout satisfait de leur exhaustivité. … Et, en tant que professeur de mathématiques expérimenté, je me sens obligé de donner une réponse intégrale.
La formule cos (2x) que vous avez indiquée est lune des trois identités à double angle du cosinus. La résolution de cette équation pour sin (x / 2) aboutit à lidentité de demi-angle pour sinus.
Veuillez noter que où Jai marqué *. Lune des règles de trigonométrie les moins connues indique que vous pouvez diviser de manière équivalente tous les arguments de la fonction trigonométrique par la même constante des deux côtés dune équation. En fait, vous pouvez diviser nimporte quelle constante. mais cela peut ne pas toujours être utile. Essayez de résoudre léquation ci-dessus pour sin (x / 3), puis utilisez-la pour trouver sin (pi / 12). Cela fonctionne à merveille.
Maintenant, pour utiliser réellement la formule sin (x / 2), vous devez manipuler léquation donnée en utilisant une fraction complexe équivalente comme indiqué ici:
Bien sûr, cela est démontré dans la première image ci-dessus. En plus de connaître / dériver lidentité du demi-angle, le plus grand défi est de lappliquer.
Réponse
I. Utilisons une approche de résolution de problèmes connue sous le nom de équivalence .
Avec cette approche, nous choisissons un objet avantageux ou un ensemble dobjets et regardons sous des angles différents… dans lespoir que nous puissions en tirer une relation fructueuse dans le processus.
Un de ces objets ou notions pourrait être aire carrée .
Nous commençons par un triangle rectangle dont la longueur de lhypoténuse est une unité, choisissons un angle x et marquons les longueurs des côtés du triangle comme \ cos x, que nous acceptons de traiter comme du triangle hauteur , et \ sin x, que nous acceptons de traiter comme base du triangle:
Ensuite, nous considérons que cest un fait prouvé que laire carrée dun triangle est le produit divisé par deux de son bas e sur la hauteur:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
La prochaine étape est assez difficile car dans le vide, nous ne savons pas vraiment exactement ce qui nous attend de lautre côté de 2 \ sin x \ cos x. Du point de vue des découvreurs, nous regardons dans labîme de linconnu. Alors appelons cela intuition, une pensée heureuse ou juste un nez mais nous raisonnons ainsi:
ok, nous avons trouvé un moyen dattacher une notion concrète (une zone carrée) à une autre abstraite et, regardons les choses en face cest une expression plutôt mystérieuse mais – pas exactement puisque nous devons encore travailler le facteur de 2 ici.
Comment pouvons-nous faire cela?
Eh bien, que diriez-vous de joindre les deux triangles identiques ensemble?
Alors la hauteur, ou \ cos x dans notre jargon, reste la même mais nous gagnons en soudant les deux bases identiques, \ sin x dans notre jargon, en une seule:
Observez que nous suivons / interprétons votre expression de manière pédante.
Il est maintenant temps pour équivalence pour se tenir debout et être compté. La nouvelle forme composite est toujours un triangle et sa surface carrée est toujours:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
mais nous avons le droit de regarder la même forme différemment: si nous traitons le côté de longueur 1 comme une base alors la perpendiculaire à celui-ci, représentée en rouge, est la hauteur. Mais langle au sommet supérieur est de 2x. Par conséquent, la nouvelle hauteur par définition est:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Par conséquent, la même aire carrée du même triangle peut être rendu comme:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Mais ( 2 ) et ( 4 ) représentent la même grandeur. Par conséquent:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
doù nous découvrons que:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Pour un traitement similaire mais plus alphabétisé, commencez par le même triangle que ci-dessus et doublez la longueur de son \ sin x côté en construisant un cercle \ sigma avec le centre en B et le rayon BA:
Mais maintenant AC coupe \ sigma en E (tant que x 5 ^ {\ circ}) et soit par le théorème de Thale, soit par le B3P31 dEuclide (langle dans un demi-cercle est à droite) langle en E est à droite:
et puisque les triangles rectangles ABC et AED partagent un angle commun \ theta il suit que \ angle ADE = x et de \ triangle AED pour ED nous avons:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Mais du triangle rectangle CED pour ED nous avons:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
et donc:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(vous pouvez penser que cest une équivalence plus mince car nous avons utilisé la longueur dun segment de ligne pour combler lécart entre les deux morceaux ensemble)
III. Selon toute vraisemblance, cette version peut sembler trop avancée mais je la montrerai quand même et pour deux raisons. Une des raisons est de démontrer quen mathématiques, non seulement il existe de nombreuses façons différentes dobtenir le même résultat, mais certaines de ces méthodes peuvent paraître surprenantes. Lautre raison – vous aurez quelque chose à espérer apprendre.
À un moment donné de votre formation mathématique, vous pouvez rencontrer ces objets appelés nombres complexes . Avec ces nombres, nos deux fonctions trigonométriques peuvent être enregistrées comme suit (grâce à un grand mathématicien suisse Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
où e est Le nombre dEuler et i a cette propriété particulière que i ^ 2 = -1 mais ignore tout cela pendant un moment et simplement multipliez les deux fractions ci-dessus selon les règles de lalgèbre du collège:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
selon ( 5 ).