Meilleure réponse
Commencez par observer que péché 35 ° est proche de sin 30 ° = 1/2. Nous savons donc immédiatement que cest à peu près 1/2. Cest à environ 7\% de la valeur réelle.
Essayons dobtenir une meilleure estimation. Par lidentité daddition dangle,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Maintenant, puisque 5 ° = π / 36 est un angle relativement petit, nous pouvons utiliser les approximations sin x ≈ x et cos x ≈ 1. Donc
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Maintenant π ≈ 22/7, et (√3 / 2) ≈ 7/4 parce que 49/16 ≈ 3. Donc, nous obtenons
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Ceci diffère de la valeur vraie de moins de 1\%.
Une autre approche consiste à la calculer en utilisant les premiers termes du couple dans le développement de la série de Taylor de sin x . Cette précision est meilleure que 0,1\%, mais plus difficile à calculer à la main que 83/144.
Réponse
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Maintenant Sin (3x), à partir de la formule générale, vaut 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, doù x = 10 degrés, ce qui donne Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 et donc,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 ou, en manipulant cette équation et en mettant Sin (10) = y, on obtient
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Résolvez ce cube en utilisant une méthode itérative numérique comme la méthode de Newton-Raphson, à la main, pour obtenir, après un slog:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Évidemment, vous pouvez aller à moins de chiffres en fonction de la précision requise.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Mettez les valeurs de Cos (10) et Sin (10) dans (1) ci-dessus pour obtenir:
Sin (35) = 0.57357643639 comme demandé.