Meilleure réponse
1. Racines des nombres.
À lécole primaire, on nous a dit que la racine carrée dun nombre est en fait une question. Quel nombre multiplié par lui-même, tant de fois pour obtenir un nombre, est la racine. Par exemple. racine carrée de 9 = 3, puisque 3 × 3 = 9 quatrième racine de 16 = 2, puisque 2 × 2 × 2 × 2 = 16 et ainsi de suite. Cependant, la nature des racines est plus fondamentale car son application a élargi le système numérique du rationnel au réel. En d’autres termes, pour utiliser l’opération de recherche de racines, il était nécessaire d’élargir le système numérique afin qu’il soit fermé sous le opération « denracinement » en introduisant les nombres irrationnels. Les nombres rationnels sont fermés pour +, -, ×, ÷ mais pas pour √. Par exemple, √2 ne peut pas être exprimé sous forme de rapport. Les pythagoriciens le savaient et étaient supposés avoir essayé de souper, car il na pas carré, ha, ha, avec leur vision du monde.
2. Racines des équations
La nature dont on nous a dit était quand la courbe coupe le Axe x. Cela peut se produire une, deux, trois fois selon le polynôme. Des règles ont été conçues pour les calculer, ce que nous avons tous appris. Ensuite, la question a été posée. Que se passe-t-il si la courbe ne coupe pas laxe des x? Alors nous avons évidemment une racine imaginaire et cela se produisait lorsque b ^ 2-4ac . Cela nécessitait quune autre extension du système numérique soit nécessaire. Donc le système de nombres complexes a été inventé, pour inclure les racines des nombres négatifs. Donc, la nature des «racines» a été détendre le système numérique au-delà des nombres rationnels.
Réponse
Jimagine que vous voulez dire «naturel» dans le sens d «isomorphisme naturel». Si quelque chose est «naturel» ou «canonique», cela signifie, grosso modo, quil nest pas le résultat dun choix arbitraire. Il est déterminé par son contexte, naturellement.
Un des exemples motivants dune chose «naturelle» est lisomorphisme entre un espace vectoriel de dimension finie V et son double dual V ^ {\ vee \ vee}. Lisomorphisme prend v \ in V vers E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}, où E\_v (\ phi) = \ phi (v) pour \ phi \ in V ^ \ vee. Vous envoyez le vecteur v à la carte E\_v qui évalue les vecteurs doubles en v. Cest naturel; aucun choix arbitraire na été fait, il est simplement tombé directement hors des définitions et des relations des objets impliqués.
Il existe un autre isomorphisme entre ces deux espaces, ou bien sûr, mais celui-ci est «le bon choix». Tout autre choix ne serait pas naturel; par exemple, vous pourriez envoyer v à E\_ {A (v)}, où A: V \ to V est un automorphisme linéaire arbitraire de V. Mais… pourquoi? Il ny a aucune raison que vous deviez introduire A du tout, car vous avez le choix naturel v \ mapsto E\_v juste en face de vous. Espérons que la différence entre lisomorphisme «naturel» et «non naturel» est assez claire.
Dun autre côté, il ny a pas disomorphisme naturel L: V \ à V ^ \ vee. Construire un isomorphisme nécessite des choix arbitraires. Je pourrais choisir une base b\_1, \ dots, b\_n et déclarer que L (b\_i) est le vecteur dual qui prend b\_i à 1 et tous les autres vecteurs de base à 0. Cela définit un isomorphisme parfaitement fin, mais je pourrais faire exactement la même chose chose avec nimporte quelle autre base et obtenez un isomorphisme différent, tout aussi valide. Il ny a aucun moyen den choisir un dune manière naturelle, donnée par Dieu *.
Cest une description très approximative et informelle. Elle peut (et est) rendue précise par la théorie des catégories: les foncteurs et les transformations naturelles fournissent la bonne façon de penser à ce qui rend quelque chose de «naturel» dans un certain contexte. Jai fait de mon mieux pour transmettre ma propre intuition pour le concept, qui, à mon avis, suffirait jusquà ce que lon soit prêt pour les détails sanglants (cate).
* nonobstant la théologie / ontologie des mathématiques